普通多项式转下降幂多项式小结

前置芝士

斯特林数

正题

对于给定的多项式 $F(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$，求出一个下降幂多项式 $G(x)={\sum }_{i=0}^n{b}_i{x}^{\underline{i}}$，满足 $F(x)=G(x)$。

主要用到的技巧就是利用第二类斯特林数展开 $x^n$，即 $x^n={\sum }_{j=0}^n{C}_x^{j}j!S(n,j)$，可以发现 $C_x^{j}j!=\frac{x!}{(x-j)!}$，即 $x^{\underline{j}}$，于是有 $x^n={\sum }_{j=0}^{n}S(n,j)x^{\underline{j}}$。

推推柿子：
$$\begin{array}{rl}F(x)& =\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\\ & =\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{j=0}^{n}S(i,j)x^{\underline{j}}\\ & =\sum _{j=0}^n{x}^{\underline{j}}\sum _{i=0}^{n}S(i,j)a_i\end{array}$$

于是就得到了每一项的系数，考虑怎么求这个系数。

先拆开斯特林数：
$$\begin{array}{rl}第k项系数& =\sum _{i=0}^{n}S(i,k)a_i\\ & =\sum _{i=0}^n{a}_i\times \frac{1}{k!}\sum _{j=0}^n(-1{)}^{k-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})j^i\\ & =\sum _{i=0}^n{a}_i\sum _{j=0}^n(-1{)}^{k-j}\frac{1}{j!(k-j)!}{j}^i\\ & =\sum _{j=0}^n\frac{(-1{)}^{k-j}}{(k-j)!}\sum _{i=0}^n\frac{a_i{j}^i}{j!}\end{array}$$

发现后面那个 ${\sum }_{i=0}^n\frac{a_i{j}^i}{j!}$ 其实就是 $\frac{F(j)}{j!}$，一个多项式多点求值就可以求出，记 $H_j=F(j)$，那么有
$$第k项系数=\sum _{j=0}^n\frac{(-1{)}^{k-j}}{(k-j)!}{H}_j$$

这是个卷积状物，于是乎就做完了。

模板题传送门

代码跑的还算快吧qwq，不开 O2 大概是 $9.3s$：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 600010
#define mod 998244353
#define bin(x) (1<<(x))
#define MS(f,x) memset(f,0,4<<(x))
#define CP(f,g,x) memcpy(f,g,(x)<<2)

int n,F[maxn],G[maxn];
int ksm(int x,int y){
    
    int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
int inv[maxn],w[maxn],log_2[maxn];void prep(int N){
    
    
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod,log_2[i]=ceil(log2(i));
	for(int i=1,wn;i<N;i<<=1){
    
    
		w[i]=1;wn=ksm(3,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=1;j<i;j++)w[i+j]=1ll*w[i+j-1]*wn%mod;
	}
}
int limit,r[maxn];void work(int lg){
    
    for(int i=0;i<bin(lg);i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));}
int add(int x){
    
    return x>=mod?x-mod:x;};
int dec(int x){
    
    return x<0?x+mod:x;}
void ntt(int *f,int lg,int type=0)
{
    
    
	limit=bin(lg);if(type)reverse(f+1,f+limit);
	for(int i=1;i<limit;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(int mid=1,t;mid<limit;mid<<=1)for(int j=0;j<limit;j+=(mid<<1))for(int i=0;i<mid;i++)
	{
    
    t=1ll*f[j+i+mid]*w[mid+i]%mod;f[j+i+mid]=dec(f[j+i]-t);f[j+i]=add(f[j+i]+t);}
	if(type)for(int i=0;i<limit;i++)f[i]=1ll*f[i]*inv[limit]%mod;
}
void NTT(int *f,int *g,int ln){
    
    
	int lg=log_2[ln];work(lg);ntt(f,lg);ntt(g,lg);
	for(int i=0;i<bin(lg);i++)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod;ntt(f,lg,1);
}
int A[maxn],B[maxn],C[maxn],D[maxn],E[maxn],H[maxn];
void getinv(int *f,int *g,int ln)
{
    
    
	if(ln==1){
    
    g[0]=ksm(f[0],mod-2);return;}getinv(f,g,(ln+1)>>1);
	int lg=log_2[ln<<1];work(lg);MS(A,lg);MS(B,lg);CP(A,f,ln);CP(B,g,ln);
	ntt(A,lg);ntt(B,lg);for(int i=0;i<bin(lg);i++)B[i]=1ll*(2-1ll*A[i]*B[i]%mod+mod)*B[i]%mod;
	ntt(B,lg,1);for(int i=0;i<ln;i++)g[i]=B[i];
}
void rev(int *f,int *g,int ln){
    
    for(int i=0;i<ln;i++)g[i]=f[ln-1-i];}
void getdiv(int *f,int *g,int *q,int ln1,int ln2){
    
    
	MS(C,log_2[ln1<<1]);MS(D,log_2[ln1<<1]);rev(f,C,ln1);rev(g,D,ln2);
	for(int i=ln1-ln2+1;i<ln1;i++)C[i]=D[i]=0;
	MS(E,log_2[ln1<<1]);getinv(D,E,ln1-ln2+1);NTT(C,E,(ln1-ln2+1)<<1);rev(C,q,ln1-ln2+1);
}
void getmod(int *f,int *g,int *q,int *r,int ln1,int ln2){
    
    
	MS(C,log_2[ln1<<1]);MS(D,log_2[ln1<<1]);CP(C,g,ln1);CP(D,q,ln1);
	NTT(C,D,ln1);for(int i=0;i<ln2;i++)r[i]=dec(f[i]-C[i]);
}
void getmod(int *f,int *g,int *r,int ln1,int ln2){
    
    
	if(ln1<ln2){
    
    CP(r,f,ln1);return;}
	MS(H,log_2[ln1<<1]);getdiv(f,g,H,ln1,ln2);getmod(f,g,H,r,ln1,ln2);
}
int *P[maxn],*R[maxn];int kk(int d,int id){
    
    return (1<<d)+id;}
#define ID kk(d,id)
void FZ_FFT(int l,int r,int d,int id)
{
    
    
	P[ID]=new int[bin(log_2[r-l+2]+1)];R[ID]=new int[bin(log_2[r-l+2]+1)];
	if(l==r){
    
    P[ID][0]=mod-l;P[ID][1]=1;return;}int mid=l+r>>1;
	FZ_FFT(l,mid,d+1,id<<1);FZ_FFT(mid+1,r,d+1,(id<<1)+1);
	int lg=log_2[(r-l+2)<<1];MS(P[ID],lg);MS(E,lg);
	CP(P[ID],P[kk(d+1,id<<1)],mid-l+2);CP(E,P[kk(d+1,(id<<1)+1)],r-mid+1);NTT(P[ID],E,r-l+2);
}
void evalu(int l,int r,int *FA,int ln,int d,int id)
{
    
    
	getmod(FA,P[ID],R[ID],ln,r-l+2);
	if(r-l<=300){
    
    for(int i=l;i<=r;i++){
    
    
	for(int j=r-l;j>=0;j--)G[i]=add(1ll*G[i]*i%mod+R[ID][j]);}return;}
	int mid=l+r>>1;evalu(l,mid,R[ID],r-l+1,d+1,id<<1);evalu(mid+1,r,R[ID],r-l+1,d+1,(id<<1)+1);
}
int fac[maxn],inv_fac[maxn];
void work(){
    
    fac[0]=inv_fac[0]=1;for(int i=1;i<(n<<1);i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv_fac[i]=1ll*inv_fac[i-1]*inv[i]%mod;}

int main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);prep(n<<2);work();
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&F[i]);
	FZ_FFT(0,n-1,0,0);evalu(0,n-1,F,n,0,0);
	for(int i=0;i<n;i++)G[i]=1ll*G[i]*inv_fac[i]%mod,F[i]=(i&1?mod-inv_fac[i]:inv_fac[i]);
	NTT(F,G,n<<1);
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",F[i]);
}