纠错码的构造

综述

纠错码，是指在传输过程中发生错误后能在收端自行发现或纠正的码。而寻找性能良好的纠错码本质上是一个组合学的问题。

如果用$n$表示码长，$K$表示码字个数，$d$表示码字个数，那么往往就有如下两个问题：

1.对于固定的$n$和$K$，$d$最大可以是多少？
2.对于固定的$n$和$d$，$K$最大可以是多少？

这两个问题都属于组合极值问题，无外乎两个步骤：1.确定范围，2.给出一个构造。而本篇文章，基于《纠错码的代数理论》上的习题，给出了一些构造的方法。

构造方法

Hamming界的应用

题：第8页的习题2
一个码长为8的二元码，最小距离为5，试问最多能有多少码字？
($q=2,n=8,d=5,K_{max}=?$)

首先可以用定理1.3.1和\定理1.3.3这两个不等式初步估计出范围：$K$的Hamming界是$\frac{256}{37}$，Singleton界是$16$，Hamming界小于Singleton界，而K是正整数，所以$K\le 6$。
接下来很自然的一个想法是：能否构造出$K=6$，答案是否定的，证明如下：
反证法：如果$K=6$，那么不妨设$(00000000)\in C$（码的平移是等价变换）。因为$d>5$，所以其余每一个码至少含有5个1。不妨设C中有一个码前5位均为1（分量置换是等价变换）。得到下图:
$\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1& ?& ?& ?\end{array}$

接下来进一步分析，因为每一个码至少有5个1，所以前五位至少有2个1，而且至多有3个1，否则与第二个码距离小于5
更进一步得到，不能同时有两个码，前五位只有2个1，否则，后三位相同（都是1），而前五位至少有一位相同，得到这两个码的距离小于5，矛盾！
另一方面，不能同时有两个码，前五位有3个1。否则，因为与第二个码距离为5，而前五位中已经有3个数字相同（都是1），所以这两个码后三位相同，都与第二个码后三位相反，而前五位至少有一位相同，得到这两个码的距离小于5，矛盾！
综上分析

1. 前五位至少有2个1，至多有3个1
2. 不能同时有两个码，前五位只有2个1
3. 不能同时有两个码，前五位有3个1
   $⟹$ 至多再有两个码，一个码前五位有2个1，另一个码前五位有3个1。
   所以$K\le 4$
   容易给出一个构造：
   $\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}$

Singleton界的应用

题：第8页的习题3
一个码长为n的q元码，最小距离为2，试问最多能有多少码字？

首先用定理1.3.1和定理1.3.3这两个不等式初步估计出范围：$K$的Hamming界是$q^n$，Singleton界是$q^{n-1}$，Hamming界大于Singleton界，所以$K\le q^{n-1}$。

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先从简单情况做起，将一般问题特殊化：如果$q=2,n=4$，那么$K\le 8$。不妨设$(0000)\in C$，那么其余每个码至少有2个1，注意到$C_4^2=6$，再加上$(1111)$，容易得到以下构造：
$\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}$

$K=8$，正好是Singleton界。

接下来考虑$q=3,n=4$，那么$K\le 27$。能否给出一个$K=27$的构造呢，这是解决这道问题的关键。
为什么是27呢，27这个数字意味着什么？很自然地想到$27=3^3$，进一步联想到，这正好是所有3位3进制数的个数:
$\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 2& 2\end{array}\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 2\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& 0\\ 1& 2& 1\\ 1& 2& 2\end{array}\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 2& 0& 1\\ 2& 0& 2\\ 2& 1& 0\\ 2& 1& 1\\ 2& 2& 0\\ 2& 2& 1\\ 2& 2& 2\end{array}$

在此基础上，很自然地想到，只要再添加一列，使得所有分量之和在模3的意义下为0，那么这就是$K=27$的构造！
$\begin{array}{cccc}0& 0& 0& |0\\ 0& 0& 1& |2\\ 0& 0& 2& |1\\ 0& 1& 0& |2\\ 0& 1& 1& |1\\ 0& 2& 0& |1\\ 0& 2& 1& |0\\ 0& 2& 2& |2\end{array}\begin{array}{cccc}1& 0& 0& |2\\ 1& 0& 1& |1\\ 1& 0& 2& |0\\ 1& 1& 0& |1\\ 1& 1& 1& |0\\ 1& 2& 0& |0\\ 1& 2& 1& |2\\ 1& 2& 2& |1\end{array}\begin{array}{cccc}2& 0& 0& |1\\ 2& 0& 1& |0\\ 2& 0& 2& |2\\ 2& 1& 0& |0\\ 2& 1& 1& |2\\ 2& 2& 0& |2\\ 2& 2& 1& |1\\ 2& 2& 2& |0\end{array}$

再将特殊问题一般化：对于一般的n和q，d=2，那么$K_{max}=q^{n-1}$。首先由\textbf{定理1.3.3}，$K\le q^{n-1}$给出如下构造：
前n-1位为所有n-1位的q进制数排列，最后一位使得所有分量之和在模q的意义下为0
这样，前n-1位至少有一位不相同，而如果前n-1位只有一位不相同，那么他们最后一位必然不相同。所以d=2。

这道题体现了矛盾的普遍性与特殊性是辩证统一的关系。一方面，普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来，没有特殊性就没有普遍性。另一方面，特殊性也离不开普遍性，不存在不包含普遍性的特殊性。两者彼此相联，不可分割

扩充法

题：第8页的习题4
能否构作一个参数为[8,4,4]的二元码

这题如果直接构造，比较困难，但是如果借助一下他山之石，那么这题就可以迎刃而解。参见第7页例3，如果在这码长为7的基础上，增加一位，增加的这一位，使得每个码所有分量之和在模2意义下为0，那么这就是一个符合条件的构造：
$\begin{array}{cccccccc}0& 0& 1& 0& 1& 1& 1& |0\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& |0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& |0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1& 0& |0\\ 0& 1& 1& 1& 0& 0& 1& |0\\ 1& 0& 1& 1& 1& 0& 0& |0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0& |0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& |0\end{array}\begin{array}{cccccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0& 0& |1\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0& |1\\ 0& 0& 1& 1& 0& 1& 0& |1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& |1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& |1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& |1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 1& |1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& |1\end{array}$

抽屉原理

题：第8页的习题4
能否构作一个参数为[8,4,4]的二元码

如果这题要直接构造，又该如何下手呢？首先依然可以不妨设$(00000000)\in C$，然后就有其余每个码至少含有4个1。接下来可以来算一笔账：剩下15个码中，每个码至少含有4个1，那么总共就有60个1，而码长为8，那么由抽屉原理，存在某一列，至少有8个相同，均为1。不妨设为第一列。
再对这8个码进行分析：这8个码，第二列至第七列每行至少有3个1，总共有$8\times 3=24$个1，由抽屉原理，存在某一列，至少有4个相同，均为1，不妨设为第二列。
依次类推，得到下图：
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& & & & \\ 1& 1& 1& & & & & \\ 1& 1& & & & & & \\ 1& 1& & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \end{array}$

接下来，对第一行，第二行进行扩充：
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& & & & & & \\ 1& 1& & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \end{array}$

再进行如下演变：
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& & & & & & \\ 1& 1& & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \end{array}$
$\to$
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \\ 1& & & & & & & \end{array}$
$\to$
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& & & & & & \\ 1& 0& & & & & & \\ 1& 0& & & & & & \\ 1& 0& & & & & & \end{array}$
$\to$
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& & & & \\ 1& 0& 1& 0& & & & \\ 1& 0& 0& 1& & & & \\ 1& 0& 0& 1& & & & \end{array}$
$\to$
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& & & & \\ 1& 0& 0& 1& & & & \end{array}$
$\to$
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0\end{array}$

这里有8个码，再取反，得到另外8个码，容易验证这是符合条件的一种构造：
$\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0\end{array}\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}$

题：第13页的习题3
试构作参数为(n,K,d) = (9,6,5) 和 (10,6,6)的二元码

先构造(10,6,6)，不妨设$(0000000000)\in C$，这样其他五个码，每个码至少含有6个1。这五个码，总共至少有30个1，而一共有10列，每列至少有3个1。注意到$C_5^3=10$，罗列出所有3个1,2个0的排列，即得到一种构造！
$\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 1\end{array}$

若去掉最后一列，即为(9,6,5)的构造

总结

总的来说，纠错码的构造问题往往灵活多变，没有固定的招数。虽然其实可能未必有什么用，但其实不妨看作是思维的游戏。