【算法日记】大整数乘法分支递归实现

问题描述：如标题所示，就是两个大整数相乘，有时候如果数值过大，计算机是不能直接计算出来的，就需要使用到分支的思想。
分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，一般情况都会用二分来解决（网上资料很多，此处不再赘述）。
情景假设：假设有两个大整数X、Y，分别设X=1234、Y=6789。现在要求X*Y的乘积，小学的算法就是把X与Y中的每一项去乘，但是这样的乘法所需的时间复杂度为O(N^2)，(因为每一位要逐个去乘)，所以效率比较低下。那我们可以采用分治的算法，将X、Y拆分成四部分，如下图:

这样X可以表示为
Y同理，所以Y=C*10^(n/2)+D;
(有的资料书上写的是X=A**2^(n/2)+B,因为它是表示的二进制，此处写的是十进制。)
所以现在将一个大的整数分成了两部分，问题规模减小，这样直接相乘就会写成
但是这样你会发现，最后还是要计算4次n/2位整数的乘法，以及三次加法，根据master定理最后会发现T(n)=O(n^2);所以说这其实没有改进成功，要改进成功，就需要通过将算式变形来减少乘法的次数，对此，我们写成如下形式：
这样就能减少乘法的次数，（只做了AC,BD (A-B)(D-C)三次乘法）,由master定理可得T（n）=O(n^log3),优化成功。
测试代码如下：

#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1) 
int divideConquer(int X, int Y, int n) {
	int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
	int x = abs(X);
	int y = abs(Y);
	if (x == 0 || y == 0) {
		return 0;
	}
	else if (n == 1) {
		return sign * x * y;
	}
	else {
		int A = (int)x / pow(10, (int)(n / 2));
		int B = x - A * pow(10, n / 2);
		int C = (int)y / pow(10, (int)(n / 2));
		int D = y - C * pow(10, n / 2);
		int AC = divideConquer(A, C, n / 2);
		int BD = divideConquer(B, D, n / 2);
		int ABDC = divideConquer((A - B), (D - C), n / 2) + AC + BD;
		return sign * (AC * pow(10, n) + ABDC * pow(10, (int)(n / 2)) + BD);
	}
}

int main() {
	int x, y, n;
	scanf_s("%d%d%d", &x, &y, &n);
	printf("x 和 y的乘积为：%d", divideConquer(x, y, n));
}