1）动态规划是运筹学中用于求解决策过程中的最优化数学方法。 当然，我们在这里关注的是作为一种算法设计技术，作为一种使用多阶段决策过程最优的通用方法。
它是应用数学中用于解决某类最优化问题的重要工具。
2）如果问题是由交叠的子问题所构成，我们就可以用动态规划技术来解决它，一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包含了相
同问题的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠子问题一次又一次的求解，不如把每个较小子问题只求解一次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间
的），这样就可以从表中得到原始问题的解。
直接看例子
国际象棋中的车可以水平的或竖直的移动，一个车要从一个棋盘的一角移到对角线的另一角，有多少种最短路径？
用动态规划算法求解(假设棋盘为n*n,最短路即不能回退)
我们设定 F[i , j]表示从坐标（0,0）到（i ,j）的方法数（定义F[i , j]的含义，动态规划的一个关键点）：
很明显,要走到坐标（i ,j），它的上一步的坐标必定是（i-1 ,j）或者（i ,j-1） （分析动态规划问题的逆向思考）
这样就将问题描述为了交叠子问题：
F[i , j] = F[i -1, j] + F[i , j-1] （ F[i , j] 拆解成更小的交叠的子问题 ）
我们要求的是F[n , n]
列出初始边界条件：
F[0 , j] = 1
F[i , 0] = 1
填矩阵的形式：可以按行也可以按列。
典型的动态规划的算法,由最小的边界条件处依次递归.
把矩阵填出来以后也很简单
1 8 36 120 330 792 1716 3432
1 7 28 84 210 462 924 1716
1 6 21 56 126 252 462 792
1 5 15 35 70 126 210 330
1 4 10 20 35 56 84 120
1 3 6 10 15 21 28 36
1 2 3 4 5 6 7 8
车 1 1 1 1 1 1 1
这个图似曾相识吧,没错,这就是帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)
1
11
121
1331
14641
...........
的变形.即二项式的展开系数.因此其实F[n , n]即为C(2n , n)
(c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!))
二项式系数的性质图里也已经很明显了 C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) n>k>0
代码:
/**
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*/
package calculation.dynamicprogramming;
/**
* @author aijnec
*/
public class ChessTest {
//棋盘维度
private static int n = 8;
//棋盘模型
private long[][] chessBoard = new long[n][n];
/**
* 构造棋盘矩阵 往格子里填方法数
*
*/
private void buildChessBoard(){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
if(i==0 || j==0){
//边界条件
chessBoard[i][j]=1;
//System.out.println("chessBoard["+i+"]"+"["+j+"]="+chessBoard[i][j]);
}else{
//子方法递推
chessBoard[i][j]=chessBoard[i-1][j]+chessBoard[i][j-1];
//System.out.println("chessBoard["+i+"]"+"["+j+"]="+chessBoard[i][j]);
}
}
}
}
/**
* 取得从(0,0)走到对角端点(n,n)的最短方法数
* @return
*/
public void getPointNum(){
buildChessBoard();
System.out.println("pointNum="+chessBoard[n-1][n-1]);
}
public static void main(String[] args){
ChessTest test = new ChessTest();
long startTick,endTick;
startTick = System.nanoTime();
test.getPointNum();
endTick = System.nanoTime();
System.out.println("process costs "+(endTick-startTick)+" ns");
}
}