何为索引？
牛津英汉辞典，中英翻译领域的权威著作，收录了近百万个单词，比板砖还要厚。朋友们在使用的时候是怎么查阅的呢？辞典收录单词是按照首字母排序的，如果首字母一样，则按照第二个字母排序，以此类推，这就为我们查找单词提供了极大的便利。例如，我们希望查找 python 这个单词，那我们先找到以首字母 P 开头的部分，然后找第二个字母是 Y ，直至最后查阅到 python 。
显然牛津辞典以 A-Z 共26个字母，建立了多级索引，通过这样的方式，把单词进行有序排列，每一次我们查阅单词都是基于这样的索引在进行逐层循环。所以才说，索引为数据值提供了一个指向存储位置的指针。
在列表里，我们利用元素在列表中的位置作为索引。在数组领域，为了保证索引的兼容性，很多朋友们想到了，既然数组是列表在多维空间的延伸，那么索引为什么不可以呢？确实是这样，数组的索引是列表的索引在多维的拓展，本节我们将具体看一看，如何玩转数组的索引？
1. 数组索引与切片
1.1 一维数组
一维数组相对简单，基本和列表一致。举例如下：
import numpy as np
arr1d = np.arange(1,10,1, dtype=np.float32)
arr1d
Out: array([1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.], dtype=float32)
# 索引的起始位置为0，选择索引为6的元素
arr1d[6]
Out: 7.0
# 选择索引为[5:8）的区间元素，注意是左闭右开
arr1d[5:8]
Out: array([6., 7., 8.], dtype=float32)
1.2 二维数组
这里以3×3大小的数组为例：
# 创建二维数组
arr2d=np.arange(9, dtype=np.float32).reshape(3,3)
arr2d
Out:
array([[0., 1., 2.],
[3., 4., 5.],
[6., 7., 8.]], dtype=float32)
显然，二维数组有两个维度的索引，映射到平面空间的话，二维数组的两个轴分别为 axis 0和 axis 1，Numpy 默认先对 axis 0 轴索引，再对 axis 1轴索引。（数组其实可以视作嵌套列表，通常把最外层的索引定义为 axis 0，依次往里递增，该规律对于高维数组也适用）
如果仅仅对axis 0轴进行索引：
# 方括号里面，可以理解为对轴的操作。这里方括号里为单个整数，表示对最外层的axis 0进行操作
arr2d[1]
# 结果请参考下图的左侧部分
Out: array([3., 4., 5.], dtype=float32)
同时对axis 0轴和axis 1轴进行索引：
# 方括号里为2个整数，表示依次对axis 0和axis 1操作（axis 0在前）;取同时满足axis 0中index=1和axis 1中index=1的元素
arr2d[1, 1]
# 结果请参考下图的右侧部分
Out: 4.0
在索引的基础上稍微拓展一下，同时选择多个连续的索引，那就是切片效果了。例如，我们对上一步的索引做一些简单的修改：
# 方括号的里面，分别还是表示对 axis 0和 axis 1操作，只不过变成了切片。
# 该结果表示：同时在 axis 0 轴上满足[0:2)，axis 1轴上满足[1:3)的元素组成的数组
# arr2d[0:2, 1:3]的结果不等价于arr2d[[0,1],[1,2]]，请注意这个结论！！！
arr2d[0:2, 1:3]
Out:
array([[1., 2.],
[4., 5.]], dtype=float32)
简单说来，二维数组可比作二维空间的坐标系，比较直观，便于理解。朋友们多多练习，细细揣摩即可熟练掌握；
1.3 三维数组
三维数组比二维数组多了一维。三维数组在图片领域比较常见，对于 RGB 三原色模式的图片，就是用 m×n×3 大小的数组来表示一张图片，其中 m 表示图片垂直尺寸， n 表示图片水平尺寸，3 表示三原色。那对于三维的数组，我们应该怎么去进行索引和切片呢？
三维数组索引和切片的格式是在2维数组上的拓展，举例如下：
# 创建三维数组
arr3d = np.arange(1, 19, 1).reshape(3,2,3)
arr3d
Out:
array([[[ 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6]],
[[ 7, 8, 9],
[10, 11, 12]],
[[13, 14, 15],
[16, 17, 18]]])
# 对3维数组，取最外层索引为1、次外层索引为0的位置的元素
arr3d[1,0]
Out: array([7, 8, 9])
# 对3维数组，取最外层索引切片为0:2、次外层索引为1、最内层索引切片为2:3的位置的元素。
arr3d[:2,1,2:3]
Out:
array([[ 6],
[12]])
1.4 高维数组
通常在我们的数据分析领域，甚至在AI大数据领域，原始的输入层都是二维的，即每个样本是一维的（由n个指标去定义一个样本），样本集则是二维的；在图片识别领域，通常用到的原始输入层都是三维的，因为图片一般都是三维的数组。所以朋友们熟悉二维和三维的常用索引、切片就足够应付绝大部分实际场景了。高维数组不建议大家深入挖掘。
2. 布尔型索引
当数组碰到实际场景的时候，布尔型的索引就显得更接地气一点了。打个比方来说的话，布尔型索引更像 Excel 中的筛选器，基于条件判定结果的布尔值，来决定哪些数据是我们的目标数据。
我们先来看一个例子：
cities = np.array(["hz", "sh", "hz", "bj", "wh", "sh", "sz"])
arr_rnd = np.random.randn(7,4)
arr_rnd
Out:
array([[ 0.52214772, 0.70276312, -2.2606387 , 0.44816176],
[ 1.8575996 , -0.07908252, -0.60976332, -1.24109283],
[ 0.79739726, 0.86862637, 0.91748762, 1.58236216],
[-2.01706647, 1.02411895, -0.27238117, 0.11644394],
[-0.5413323 , 0.41044278, -0.54505957, -0.27226035],
[ 0.85592045, 1.14458831, 0.36227036, -0.22211316],
[ 2.40476032, 1.22042702, -1.07018219, 0.95419508]])
# 利用数组的比较运算，生成一个布尔类型的数组
cities == "hz"
Out: array([ True, False, True, False, False, False, False])
# 利用布尔型数组，进行数组索引；观察索引的规律
# 我们可以做这样一个推断：布尔型数组的长度要和被索引的轴的长度一致
arr_rnd[cities == "hz"]
Out:
array([[ 0.52214772, 0.70276312, -2.2606387 , 0.44816176],
[ 0.79739726, 0.86862637, 0.91748762, 1.58236216]])
这里需要注意的是，布尔型索引可以和索引切片联用：
# 利用布尔型数组、切片进行2个维度的索引
arr_rnd[cities == "hz"， :3]
Out:
array([[ 0.52214772, 0.70276312, -2.2606387 ],
[ 0.79739726, 0.86862637, 0.91748762]])
当然了，布尔型索引使用得恰到好处，具有化腐朽为神奇的功效。例如对于上一步生成的服从标准正态分布的arr_rnd数组，我希望能够把其中的负数都筛选出来，并置为0。其实非常简便：
arr_rnd[arr_rnd<0] = 0
arr_rnd
Out:
array([[0.52214772, 0.70276312, 0. , 0.44816176],
[1.8575996 , 0. , 0. , 0. ],
[0.79739726, 0.86862637, 0.91748762, 1.58236216],
[0. , 1.02411895, 0. , 0.11644394],
[0. , 0.41044278, 0. , 0. ],
[0.85592045, 1.14458831, 0.36227036, 0. ],
[2.40476032, 1.22042702, 0. , 0.95419508]])
在这里还需要强调一下布尔型数组的布尔算数运算符，有点绕口，但是其实很好理解，就是如何便捷地实现多个布尔型数组之间的“和”、“或”、“非”运算：
# 非运算 ~
~(cities == "hz")
Out: array([False, True, False, True, True, True, True])
# 和运算 &
(cities == "hz") & (cities == "sz")
Out: array([False, False, False, False, False, False, False])
# 或运算 |
(cities == "hz") | (cities == "sz")
Out: array([ True, False, True, False, False, False, True])
3. 花式索引
简单总结一下，截止到这里，我们一共讲解了如何利用单个整数、切片、布尔列表以及它们之间的组合来进行索引。事实上，它们已经很强大了，强大到足够应付绝大部分场景。我们来看一个案例，我有一个4×6的二维数组，我希望做一个有趣的切片，把二维数组4个角的元素取出来，组成一个2×2的数组，效果如下：
利用我们截止目前讲解到知识，也是可以实现的，只不过因为我们学到的都是连续的切片或者独立的单个索引，所以要实现这个效果会稍微繁琐一些。朋友们读到这里，不妨思考一下，你有什么方法来解决这个问题呢？
这里至少我们可以先提供2个思路：
# 新建4×6的二维数组arr_
arr_demo01 = np.arange(24).reshape(4,6)
arr_demo01
Our:
array([[ 0, 1, 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15, 16, 17],
[18, 19, 20, 21, 22, 23]])
# 方法1：分别将4个角的元素索引出来，然后把取出来的4个元素，重新组成一个新2×2的数组
arr_method1 = np.array([[arr_demo01[0,0], arr_demo01[0,-1]],
[arr_demo01[-1,0],arr_demo01[-1,-1]]])
arr_method1
Out:
array([[ 0, 5],
[18, 23]])
# 方法2：利用布尔索引，可以同时索引不连续的行。分别对axis 0方向和axis 1方向进行索引。但是需要注意的是，得分2次索引；
arr_method2 = arr_demo01[[True, False, False, True]][:, [True, False, False, False, False, True]]
arr_method2：
Out:
array([[ 0, 5],
[18, 23]])
第一种方法更容易理解一些，第二种方法则是分别做两次索引。第一步是对axis 0方向进行布尔索引；第二步是综合运营切片和布尔索引，在上一步生成的结果上，对axis 1方向进行索引。
那有没有更简洁的方法呢？这里就要祭出花式索引了。
花式索引，其实就是利用整数数组来进行索引。基于上面我们生成的arr_demo01，我们来看两个简单的例子。
# 我们传入一个整数数组，对axis 0方向进行索引，并且索引结果的顺序和传入的整数数组一一对应：
arr_demo01[[2,0]]
Out:
array([[12, 13, 14, 15, 16, 17],
[ 0, 1, 2, 3, 4, 5]])
如果我们同时传入两个整数数组呢，那结果可能会和预料中的有些不一样，我们看下面这个例子：
# 如果同时传入2个整数数组，中间用逗号分开。那么这两个数组会以两两配对的形式，对元素进行索引。而并不是一个矩形状的索引区域！
arr_demo01[[0,-1], [0,-1]]
Out:
array([ 0, 23])
这里实际索引到的结果是(0, 0), (-1, -1)这两个坐标上的元素，注意不是矩形状的区域哦。那如何实现上面demo的效果呢？这里我们再介绍几种方法，供大家比对、学习。
方法3：把4个角的坐标都传进去就行了，整个思路和方法1很接近，不过写法更简洁一些：
# 方法3：分别传入4个角的坐标，请朋友们注意观察传入的2个整数数组的规律
arr_demo01[[0, 0, -1, -1], [0, -1, 0, -1]]
Out: array([ 0, 5, 18, 23])
arr_demo01[[0,0,-1,-1], [0,-1,0,-1]].reshape(2,2)
Out:
array([[ 0, 5],
[18, 23]])
注意观察能够发现，这种方式得到的数据只是一系列元素组成的一维数组，还需要我们额外通过reshape方法更改数据形状。
# 方法4：利用花式索引和切片混用，整体思路和方法2很相似。也是通过连续2次索引，得到一个矩形状的区域
arr_demo01[[0,-1]] [:,[0,-1]]
Out:
array([[ 0, 5],
[18, 23]])
最后给大家介绍一个索引器，利用np.ix_函数，把传入的两个一维整数数组，转为为一个用于选取元素的区域索引器。
# 方法5：利用函数np.ix_，构建矩形索引器：
arr_demo01[np.ix_([0,-1], [0,-1])]
Out:
array([[ 0, 5],
[18, 23]])
4. 总结
这一章节给朋友们展示了数组的“七十二变”，我们利用索引和切片的方法，可以随心所欲地变化数组的结构、提取其中的元素以及元素集合。
整体来看，索引可以分为4个类型：单个整数的索引、布尔索引、切片索引（和Python列表一致）以及整数数组。稍微复杂一些的，则是其中的组合索引，比如说其它索引与切片索引的组合。相信朋友们细细读懂上文的内容，必定能够掌握数据的索引方法。在日常的学习中，建议把这一章节当做案例一样的工具书，以逻辑理解为主，遇到问题来查阅即可，并不需要死记硬背。
数组的索引与切片是整个数据分析课程的基础内容，在下一章的Pandas内容中，我们还会遇到切片和索引的问题，届时大家可以对照起来看，加深理解。