牛客练习赛69 D-火柴排队

传送门： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7329/D

题意

给长度为n的序列和一个d，分别在n个数中选k(1<=k<=n)个数，将这k个数增加d之后不影响排名，要求$ai+d<=aj$。
分别输出每一个k的概率。

思路

要是想在每个k中找出合法的方案，不管是正向的DFS还是反向的容斥，这都会导致T掉（主要是不会做，做了也会错）。看到n=5000时，O(n^2)的复杂度是可以的，那就可以考虑dp了。

设dp[i][j][1/0]表示前i个人中选了j个增加d，并且当前这一位选1/不选0。

所以就有两种选择，选或不选。

当前这一位没有被选，状态转移就是：

$dp[i][j][0]=dp[i-1][j-1][0]+dp[i-1][j-1][1]\ast (a[i-1]+d<=a[i])$

如果上一位被选了，这一就要判断上一位选了之后增加的d是否合法，合法就可要，不合法就不要。

当前这一位被选，状态转移就是：

$dp[i][j][1]=dp[i-1][j-1][0]+dp[i-1][j-1][1]$

由于n=5000，dp[5000][5000][2]可能会爆掉，那么就需要用到滚动数组（因为转移只会与上一行有关）。

$设now=i\%2,pre=now\wedge 1，则状态转移为：$
$f[now][j][0]=f[pre][j][0]+f[pre][j][1]\ast (a[i-1]+d<=a[i])$
$f[now][j][1]=f[pre][j-1][0]+f[pre][j-1][1]$

最后，预处理所有的阶乘、逆元、阶乘逆元。

Code(64ms)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<int, int> pdd;

#define INF 0x3f3f3f
#define lc t[u].ls
#define rc t[u].rs
#define m (l + r) / 2
#define lowbit(x) (x & -x)
#define mid (t[u].l + t[u].r) / 2
#define mem(a,b) memset(a , b , sizeof(a))
#define FOR(i, x, n) for(int i = x;i <= n; i++)

// const ll mod = 1e9 + 7;
const ll mod = 998244353;
// const double pi = acos(-1);
// const double eps = 1e-6;

const int N = 5005;

ll quick_pow(ll a, ll b) {
    
    
    ll ans = 1;
    while(b) {
    
    
        if(b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}

ll F[N + 10]; // 阶乘
ll invF[N + 10]; // 阶乘逆元
ll invn[N + 10];
ll a[N + 10];
int vis[N + 10];

ll f[2][N][2];

inline void Init()
{
    
    
    F[0] = F[1] = invF[0] = invF[1] = invn[0] = invn[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++)
    {
    
    
        F[i] = F[i - 1] * i % mod;
        invn[i] = (mod - mod / i) * invn[mod % i] % mod;
        invF[i] = invF[i - 1] * invn[i] % mod;
    }
}

inline ll getC(int n, int k)
{
    
    
    if (k < 0 || n < 0 || n > k)
        return 0;
    ll ans = F[k];
    ans = ans * invF[n] % mod;
    ans = ans * invF[k - n] % mod;
    return ans;
}

void solve()
{
    
    
    Init();
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    for(int i = 1;i <= n; i++) cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);
    a[n + 1] = a[n] + d * 2;
    f[1][1][1] = 1;
    f[1][0][0] = 1;
    for(int i = 2;i <= n; i++) {
    
    
        int now = i % 2, pre = now ^ 1;
        mem(f[now], 0);
        for(int j = 0;j <= i; j++) {
    
    
            f[now][j][0] = (f[pre][j][0] + f[pre][j][1] * (a[i - 1] + d <= a[i])) % mod;
            f[now][j][1] = (f[pre][j - 1][0] + f[pre][j - 1][1]) % mod;
        }
    }
    int now = n % 2;
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
    
    
        cout << (f[now][i][0] + f[now][i][1]) * quick_pow(getC(i, n), mod - 2) % mod << endl;
    }
}

signed main() {
    
    
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    // cin.tie(nullptr);
    // cout.tie(nullptr);
#ifdef FZT_ACM_LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    signed test_index_for_debug = 1;
    char acm_local_for_debug = 0;
    do {
    
    
        if (acm_local_for_debug == '$') exit(0);
        if (test_index_for_debug > 20)
            throw runtime_error("Check the stdin!!!");
        auto start_clock_for_debug = clock();
        solve();
        auto end_clock_for_debug = clock();
        cout << "Test " << test_index_for_debug << " successful" << endl;
        cerr << "Test " << test_index_for_debug++ << " Run Time: "
             << double(end_clock_for_debug - start_clock_for_debug) / CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;
        cout << "--------------------------------------------------" << endl;
    } while (cin >> acm_local_for_debug && cin.putback(acm_local_for_debug));
#else
    solve();
#endif
    return 0;
}