CSP-差分约束系统及求解
知识简述
差分约束系统，是一种不等式系统，形式比较固定。具体的形式如下：
在上面的例子中我们可以看到，差分约束系统的核心约束即为m个形如：xi-xj<=ck的不等式，解即为使所有条件都成立的一组答案。值得一提的是，差分约束系统一般说来都有无穷多个解，因此我们往往需要固定一个初始值来保证可以求出唯一解。
对于差分约束系统一般有两种形式：
1、xi-xj<=ck，求解的上限–>即xi-xj=ck的情况
2、xi-xj>=ck，求解的下限–>即xi-xj=ck的情况
对这两种情况，可以使用相同的转换思路，将xj移到不等式右侧后可以得到xi<=ck+xj求上限和xi>=ck+xj求下限，熟悉最短路的松弛操作的同学就会发现，这个式子和松弛后得到的条件是一模一样的，也就是：将xi视为dis[i]，将xj视为dis[j]，ck视为边长，利用最短路算法来求解差分约束系统
进过转换后，具体的实现思路如下：
1、将每一个约束条件（例xi-xj<=ck）转换成一条有向边（j,i,ck），并存入图中
2、对生成好的图跑最短路算法（由于ck的值可能为负值，采用SPFA算法比较合理）
3、令dis[1]=0，得到的xi=dis[i]即为差分约束系统的一组解
两种特殊情况的处理：
1、出现负环，出现负环，说明某些点的dis[i]=-inf，则表达式变为xi-x1<=-Inf，我们无法找到这样的一个解，说明该差分约束系统无解。
2、出现某点不可达，说明某点满足dis[i]=inf，则表达式变为xi-x1<=Inf，该条件在任何取值下都满足，说明差分约束系统对xi无明确约束，可以取任何值。
题目概述
给定一个数轴上的 n 个区间，要求在数轴上选取最少的点使得第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点
INPUT&输入样例
输入第一行一个整数 n 表示区间的个数，接下来的 n 行，每一行两个用空格隔开的整数 a，b 表示区间的左右端点。1 <= n <= 50000， 0 <= ai <= bi <= 50000 并且 1 <= ci <= bi - ai+1。
输入样例
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
OUTPUT&输出样例
输出一个整数表示最少选取的点的个数
输出样例：
6
题目重述
给定几个区间，每个区间内要求有n个点，求出能够满足条件的选择的最少点。
思路概述
由于题目要求最少点满足选点条件，看到这个题目的第一反应可能会想到是一道贪心算法的题目，且这道题和贪心问题里的区间选点问题十分相似。
但如果使用贪心算法，对多个点的贪心并不容易实现，可能需要比较复杂的模拟。这里介绍一种利用差分约束求解这道题的做法。
我们使用sum[i]来表示从源点0开始，选的点个数。（虽然题目中说明点的范围是1-5e4，但如果从sum[1]开始我们是无法衡量出1号点是否被选中，所以使用0号点开始操作比较方便）
条件A B a(A到B闭区间内选择a个点)可以转换为sum[B]-sum[A-1]>=a，通过类比发现该类型的条件与上述的差分约束系统十分相似，可以使用差分约束来巧妙求解。
但是只有这些边条件是不够的，因为实际意义，每个点只能是选择或者不选择两个可能，我们可以得出如下的条件0<=sum[i]-sum[i-1]<=1，对图中的每两点进行连接边即可。由于求的是最少点，所以需要将所有约束条件转换成xi-xj>=ck的形式。在转换完成后的图中跑一遍最长路即可得出解。
题目所求的最少点，也就是sum[maxi]的值。
题目源码（c++）
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=5e4+5;
struct Edge
{
int des;
int nxt;
int value;
}Edges[N];
int edge_cnt;
int point_cnt;
int head[N];
void init()
{
edge_cnt=0;
for(int i=0;i<=N;i++)
head[i]=-1;
}
void add(int x,int y,int value)
{
edge_cnt++;
Edges[edge_cnt].des=y;
Edges[edge_cnt].nxt=head[x];
Edges[edge_cnt].value=value;
head[x]=edge_cnt;
}
int vis[N];
int dis[N];
queue<int> q;
void SPFA()
{
while(!q.empty()) q.pop();
for(int i=0;i<=point_cnt;i++)
{
vis[i]=0;
dis[i]=0;
}
vis[0]=1,dis[0]=0;
q.push(0);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
for(int i=head[x];i>=0;i=Edges[i].nxt)
{
int y=Edges[i].des;
if(dis[y]<dis[x]+Edges[i].value || (dis[y]==0&&dis[x]+Edges[i].value==0))
{
dis[y]=dis[x]+Edges[i].value;
if(vis[y]==0)
{
vis[y]=1;
q.push(y);
}
}
}
}
}
int main()
{
int limit_number;
cin>>limit_number;
int start,end,value;
init();
int max_number=0;
for(int i=0;i<limit_number;i++)
{
scanf("%d %d %d",&start,&end,&value);
add(start,end+1,value);
if(end+1>max_number) max_number=end+1;
}
point_cnt=max_number;
for(int i=1;i<=point_cnt;i++)
{
add(i,i-1,-1);
add(i-1,i,0);
}
SPFA();
cout<<dis[point_cnt];
return 0;
}