JZOJ6727. 【2020.06.16省选模拟】战棋游戏

Description

$n,c<=2^{60},k<=20$

Solution

• 只考虑骑士的影响，骑士之间的贡献可以通过快速幂表示成两端相同与不同的贡献。
• 那么由于骑士数量很少，所以可以考虑子集卷积。
• 枚举一个骑士的集合要求它们在同一个阵营，并且其他骑士与这个集合不在同一个阵营，贡献可以轻松地算出，方便起见，可以用所有骑士边都不同的贡献作为初始贡献，集合内的骑士边的贡献为"相同"/“不同”。
• 那么问题就是子集卷积了。
• 为了避免算重，我们在每一个状态下记一个k次多项式，那么只有$S$位置的$x^{|S|}$的系数是有意义的，这样可以避免算重。
• 稍微暴力一点的做法就是先求出点值，分步自乘，贡献到全集位置，设乘$i$次贡献到全集的答案为$ansi$，那么最后的答案就是${\sum }_{i=1}^k{(}_i^c)ansi$。
• 考虑单独计算每一个点值的乘一次，乘两次…乘上组合数对于全集的贡献。那么对于一个$S$位置的多项式$F(x)$，贡献就是${\sum }_{i=1}^k{(}_i^c)F(x{)}^i$，在$[x^n]$下的系数等价于${\sum }_{i=0}^c{(}_i^c)F(x{)}^i=(F(x)+1{)}^c$
• 需要多项式EXP和Ln才可以快速算，由于模数和常数的原因，可以考虑下面的$n^2$EXP,Ln.
• $G(x)=e^{F(x)}$
• $G^{\prime }(x)=e^{F(x)}{F}^{\prime }(x)$
• $G^{\prime }(x)x=G(x)F^{\prime }(x)x$
• 乘上$x$相当于积分回去了，单独考虑n位
• $n{g}_n={\sum }_{i=1}^{n}i{f}_i{g}_{n-i}$，递推即可。
• Ln即为逆运算，将上式化成以$f$为主即可：
• $n{f}_n=n{g}_n-{\sum }_{i=0}^{n-1}i{f}_i{g}_{n-i}$
• Exp之前的常数项为1。
• 时间复杂度$O(2^k{k}^2)$

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 21
#define ll long long 
#define mo 1000000007
using namespace std;

int n,i,j,k,a[maxn],bz[1<<maxn],I[1<<maxn];
ll m,c,v[maxn][2],F[1<<maxn],invv[maxn];
struct Id{
    
    ll id; int i;} b[maxn];
int cmp(Id a,Id b){
    
    return a.id<b.id;}

ll ksm(ll x,ll y){
    
    
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll A[2],B[2][2];
void multi(ll n){
    
    
	static ll a[2],b[2][2];
	for(;n;n/=2){
    
    
		if (n&1){
    
    
			a[0]=a[1]=0;
			for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++)
				(a[j]+=A[i]*B[i][j])%=mo;
			A[0]=a[0],A[1]=a[1];
		}
		memset(b,0,sizeof(b));
		for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++)
			(b[i][k]+=B[i][j]*B[j][k])%=mo;
		memcpy(B,b,sizeof(b));
	}
}

void getit(ll n,ll *v){
    
    
	if (n==2) {
    
    v[0]=1,v[1]=0;return;}
	ll cc=c%mo;
	A[0]=0,A[1]=1;
	B[0][0]=cc-2,B[0][1]=1,B[1][0]=cc-1,B[1][1]=0;
	multi(n-2),v[1]=A[0];
	A[0]=1,A[1]=0;
	B[0][0]=cc-2,B[0][1]=1,B[1][0]=cc-1,B[1][1]=0;
	multi(n-2),v[0]=A[0];
}

ll G[1<<maxn][maxn],f[maxn],g[maxn],ans,inv[maxn]; int cnt[1<<maxn];
void dft(){
    
    
	int N=1<<n;
	for(int i=1;i<N;i<<=1) for(int j=0;j<N;j+=i<<1)	for(int k=0;k<i;k++)
		for(int t=0;t<=n;t++) G[j+k+i][t]+=G[j+k][t];
	for(int i=0;i<N;i++) for(int j=0;j<=n;j++) G[i][j]%=mo;
	ll cc=c%mo; inv[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) inv[i]=ksm(i,mo-2);
	for(int S=0;S<N;S++){
    
    
		memcpy(g,G[S],sizeof(g)),g[0]++;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
			f[i]=g[i]*i%mo;
			for(int j=1;j<i;j++)
				(f[i]-=j*f[j]%mo*g[i-j])%=mo;
			f[i]=f[i]*inv[i]%mo;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i]*cc%mo;
		g[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
			g[i]=0;
			for(int j=1;j<=i;j++)
				(g[i]+=f[j]*j%mo*g[i-j])%=mo;
			g[i]=g[i]*inv[i]%mo;
		}
		ans+=g[n]*(((n-cnt[S])&1)?-1:1);
	}
}

int main(){
    
    
	freopen("ceshi.in","r",stdin);
//	freopen("chess.in","r",stdin);
//	freopen("chess.out","w",stdout);
	scanf("%lld%d%d%lld",&m,&n,&k,&c);
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&b[i].id),b[i].i=i;
	for(i=1;i<=n;i++) I[1<<i-1]=i;
	sort(b+1,b+1+n,cmp);
	for(i=1;i<=k;i++){
    
    
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		for(int xi=1;xi<=n;xi++) if (b[xi].i==x)
			for(int yi=1;yi<=n;yi++) if (b[yi].i==y)
				a[xi]|=1<<yi-1,a[yi]|=1<<xi-1;
	}
	ll mulv=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
    
    
		getit((b[i%n+1].id+m-b[i].id+1)%m,v[i]),mulv=mulv*v[i][0]%mo;
		invv[i]=ksm(v[i][0],mo-2);
	}
	bz[0]=1,F[0]=1;
	for(int S=1;S<1<<n;S++){
    
    
		int T=S^(S&-S); cnt[S]=cnt[T]+1;
		bz[S]=bz[T]&((a[I[S&-S]]&T)==0);
		if (bz[S]){
    
    
			F[S]=F[T],j=I[S&-S];
			for(i=1;i<=n;i++) if ((T>>i-1)&1){
    
    
				if (i%n+1==j) F[S]=F[S]*v[i][1]%mo*invv[i]%mo;
				if (j%n+1==i) F[S]=F[S]*v[j][1]%mo*invv[j]%mo;
			}
		} else F[S]=0;
		G[S][cnt[S]]+=F[S];
	}
	dft();
	printf("%lld\n",(ans%mo*mulv%mo+mo)%mo);
}