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汉诺塔问题
公元1883年法国数学家Lucas所提出流传再印度的汉诺塔(Tower of Hanoil)游戏，是使用递归方法与堆栈概念来解决问题的典型范例。
汉诺塔游戏题目如下：
有三根木桩，第一根上面有n个盘子，最底层的盘子最大，最上层的盘子最小。汉诺塔问题就是将所有的盘子从第一根木桩开始，以第二根木桩为桥梁，全部搬到第三根木桩。
在搬动盘子时需要遵守以下游戏规则：
- 每次只能从某个木桩的最上面移动一个盘子。
- 任何盘子可以从任何木桩搬到其它木桩。
- 直径小的盘子永远只能放在直径比其大的盘子上面。
传说在远东的一个寺庙里，僧侣们需要将一摞按照由底向上由大到小排列的64个盘子从第一根木桩移到第三根木桩，当他们刚遇到这个问题的时候，陷入了困境，不知道如何解决这个问题。它们开始互相推卸责任，最后推到了寺庙住持的身上。
然后住持对副住持说：“你只要能把前63个盘子由第一个木桩移动到第二个木桩，我就可以完成第64个盘子的移动”。然后副住持对一个僧侣说：“你只要能把前62个盘子由第一个木桩移动到第二个木桩上，我就可以完成第63个盘子的移动”。…第63个僧侣对第64个僧侣说：“你只要能把前一个盘子移动到第二个木桩，我就能完成第2个盘子的移动”。第64个僧侣很快完成了它的操作，然后第63个僧侣也很快完成了他的操作，然后第62个、61个…
盘子比较多，一步步来可能不好理解，那么咱先从一个盘子说起。
- 1个盘子：
直接从1号木桩移动到3号木桩即可，共需要移动1次。 - 2个盘子：
- step1：从1号木桩移动到2号木桩。
- step2：从1号木桩移动到3号木桩。
- step3：从2号木桩移动到3号木桩。
总共需要移动2^2-1=3次。
- 3个盘子:
- step1：从1号木桩移动到3号木桩。
- step2：从1号木桩移动到2号木桩。
- step3：从3号木桩移动到2号木桩。(这个时候把前n-1个由1号木桩移动到了2号木桩)
- step4：从1号木桩移动到3号木桩
- step5：从2号木桩移动到1号木桩。
- step6：从2号木桩移动到3号木桩。
- step4：从1号木桩移动到3号木桩。
总共需要移动23-1=7次。
依次类推，我们能够计算出当由n个盘子时，总共需要移动的次数是2n-1次。假如是64个盘子，总共需要移动264-1 = 18446744073709551615 次，这个数有多大…，简单算了一下，一秒钟如果能移动1亿次的话，总共需要移动五千八百多年，那假如只允许一天移动一次…，果真是到了世界末日啊。
这个时候相信大家都能看出来这是一个典型的递归问题，满足递归的两大特性：
- 有反复执行的过程。
- 由停止执行的出口。
OK，知道是递归，那到底该怎么递归？既然是递归，那我们不妨就倒着推应该怎么移动。
首先，如果需要把n个盘子从第一根木桩移动到第三根，那么肯定要把第一根木桩的最后一个盘子先移动到第三根木桩，而最后一个盘子又被压在了第一根木桩的最下面，那么肯定首先要把前n-1个木桩从第一根木桩移动到第二根(中转木桩)，然后再把第n个盘子从第一根木桩移动到第三根，最后把中转木桩上的n-1个盘子移动到第三根上。
哎，到这儿稍停，让我们退回一步，此时第n个盘子在第三根木桩上，前n-1个盘子在第二根木桩，试问我们能把这n-1个盘子直接从2号木桩移动到3号木桩吗？肯定是不可能的，我们还需要借助第一根和第三根，因为第三根上面是最大的那个盘子，因此我们可以简单理解为并没有盘子。
刚才我们把第n个盘子移动到了第三根木桩，这个时候需要把剩下的n-1个盘子移动到第三根木桩，那应该怎么办，对，和刚开始一样，需要把这n-1个盘子中的前n-2个移动到第一根木桩，然后把第n-1个移动到第三根，再把剩下的n-2个移动到第三根。
上面我们分别先把第n个和第n-1个移动到了第三根木桩上，移动这两个的时候有什么不同呢？
- 移动第n个的时候，起点在第一根木桩，中转木桩是第二根，目标是第三根。
- 移动第n-1个的时候，起点是第二根木桩，中转木桩是第一根，目标是第三根。
继续往下推导的话不难理解，每当把一个木桩移动到第三根木桩(目标木桩)上的时候，另外两个木桩会更改一下自身的定位，也就是起点变中转、中转变起点。这样改变是递归调用的结果。
仔细分析下来发现，我们并不需要知道每一步是怎么移动的，我们以刚才的1，2，3号木桩分别为起点木桩，中转木桩，目标木桩，假如倒推的话，我们发现这样操作就行：
- 盘子n：将前n-1个盘子移动到中转木桩，将第n个盘子移动到目标木桩
- 盘子n-1：将前n-2个盘子移动到起点木桩，将第n-1个盘子移动到目标木桩
- 盘子n-2：将前n-3个盘子移动到中转木桩，将第n-2个盘子移动到目标木桩
- 盘子n-3：将前n-4个盘子移动到起点木桩，将第n-3个盘子移动到目标木桩
- …
- 盘子n-(n-3)：将前2个盘子从
当时的起点木桩移动到当时的中转木桩，将第3个盘子移动到目标木桩 - 盘子n-(n-2)：将第1个盘子从
当时的起点木桩移动到当时的中转木桩，将第2个盘子移动到目标木桩 - 盘子n-(n-1)：将第一个盘子移动到目标木桩
OK，正着推不理解，倒着推算是理解了，那每一步又应该是怎么移动的呢？注意一点，怎么移动的我们无需关注！交给程序就行了！接下来上代码，分别是Python、Java和C的：
n = 1
def hanoil(level,fromWhere,temp,toWhere):
global n = 1
if level == 1:
print("Step",n,":","从",fromWhere,"移动到",toWhere)
else:
hanoil(level-1,fromWhere,toWhere,temp)
hanoil(1,fromWhere,temp,toWhere)
hanoil(level-1,temp,fromWhere,toWhere)
n += 1
level = input('输入汉诺塔层数：')
hanoil(int(level),1,2,3)
这三种算法的原理一模一样，是不是乍一看不一样，哈哈哈别被骗了，下面这三句话作用一样，如果以Python的为例使用函数调用的话可能好理解一点，不过都一样啦，三种方式实现的效果也一模一样，感兴趣的自己运行下试试。
hanoil(1,fromWhere,temp,toWhere)
System.out.println("Step"+(n++)+"从"+from+"移动到"+to);
printf("Step%d从%d移动到%d\n",n,from,to);
步骤如下：
Python：总共两情况4步
- 如果是一层：
- Step：从起点木桩到目标木桩。
- 如果不是一层：
- Step1：将前n-1个从起点木桩移动到中转木桩。
- Step2：将剩下的一个直接移动到目标木桩。
- Step3：将中转木桩的n-1个从中转木桩移动到目标木桩。
Java
public class HANOIL {
public static void main(String[] args) throws IOException {
int level;
String str;
BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
System.out.println("请输入汉诺塔层数：");
str = bf.readLine();
level = Integer.parseInt(str);
Hanoil(level,1,2,3);
}
private static int n = 1;
public static void Hanoil (int level, int from, int temp, int to) {
if (level == 1)
System.out.println("Step"+(n++)+"从"+from+"移动到"+to);
else {
Hanoil(level-1,from,to,temp);
System.out.println("Step"+(n++)+"从"+from+"移动到"+to);
Hanoil(level-1,temp,from,to);
}
}
}
#include <stdio.h>
void Hanoi(int n,int from,int temp,int to);
int main(void)
{
int n;
printf("请输入汉诺塔层数：");
scanf("%d",&n);
Hanoi(n,1,2,3);
return 0;
}
void Hanoi(int n,int from,int temp,int to)
{
if (n == 1)
{
printf("Step%d从%d移动到%d\n",n,from,to);
}
else
{
Hanoi(n-1,from,to,temp);
printf("Step%d从%d移动到%d\n",n,from,to);
Hanoi(n-1,temp,from,to);
}
}