Legendre公式
对于质数 p p p，函数 v p ( n ) vp(n) vp(n)为 n n n标准分解后 p p p的次数
显然有
v p ( n ! ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ v_p(n!) = \sum\limits_{i = 1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor vp(n!)=i=1∑∞⌊pin⌋
令函数 s p ( n ) sp(n) sp(n)为 n n n在 p p p进制下的数位和
有：
v p ( n ! ) = n − s p ( n ) p − 1 v_p(n!) = \frac{n - s_p(n)}{p - 1} vp(n!)=p−1n−sp(n)
证明：
设 n = ∑ i = 0 ∞ c i p i n= \sum\limits_{i = 0}^{\infty}c_i p^i n=i=0∑∞cipi
v p ( n ! ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ = ∑ i = 1 ∞ ∑ j = i ∞ c j p j − i = ∑ j = 1 ∞ c j ∑ i = 0 j − 1 p i = ∑ j = 1 ∞ c j ( p j − 1 ) p − 1 = 1 p − 1 ( ∑ i = 0 ∞ c i p i − ∑ i = 0 ∞ c i ) = n − s p ( n ) p − 1 \begin{aligned} v_p(n!)&=\sum_{i = 1}^{\infty} \lfloor\frac{n}{p^i} \rfloor\\ &= \sum_{i = 1}^{\infty} \sum_{j = i}^{\infty} c_j p^{j - i}\\ &= \sum_{j = 1}^{\infty} c_j \sum_{i = 0}^{j - 1} p^i\\ &= \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{c_j(p^j - 1)}{p - 1}\\ &= \frac{1}{p - 1} (\sum_{i = 0}^{\infty} c_i p^i - \sum_{i = 0}^{\infty} c_i)\\ &= \frac{n - s_p(n)}{p - 1}\\ \end{aligned} vp(n!)=i=1∑∞⌊pin⌋=i=1∑∞j=i∑∞cjpj−i=j=1∑∞cji=0∑j−1pi=j=1∑∞p−1cj(pj−1)=p−11(i=0∑∞cipi−i=0∑∞ci)=p−1n−sp(n)
Kummer定理
设 m m m， n n n为正整数， p p p为素数，则 ( m + n n ) {m+n\choose n} (nm+n)含 p p p的幂次等于 m + n m+n m+n在 p p p进制下的进位次数。
v p ( ( n m ) ) = v p ( ( m + n ) ! n ! m ! ) = v p ( ( m + n ) ! ) − v p ( n ! ) − v p ( m ! ) = ∑ i = 0 ∞ ⌊ m + n p i ⌋ − ∑ i = 0 ∞ ⌊ n p i ⌋ − ∑ i = 0 ∞ ⌊ m p i ⌋ = ∑ i = 0 ∞ ⌊ m + n p i ⌋ − ⌊ n p i ⌋ − ⌊ m p i ⌋ \begin{aligned} v_p\bigg({n\choose m}\bigg)&=v_p\bigg(\frac{(m+n)!}{n!m!}\bigg)\\ &=v_p((m+n)!)-v_p(n!)-v_p(m!)\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\lfloor\frac{m+n}{p^i}\rfloor-\sum_{i=0}^{\infty}\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\sum_{i=0}^{\infty}\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}\lfloor\frac{m+n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor-\lfloor\frac{m}{p^i}\rfloor\\ \end{aligned} vp((mn))=vp(n!m!(m+n)!)=vp((m+n)!)−vp(n!)−vp(m!)=i=0∑∞⌊pim+n⌋−i=0∑∞⌊pin⌋−i=0∑∞⌊pim⌋=i=0∑∞⌊pim+n⌋−⌊pin⌋−⌊pim⌋