可能中奖？一定中奖 容斥原理 动态规划

可能中奖？一定中奖

题目描述

一张彩票上印有2*K个数字，每个数字都是0至9中的某一个，只要满足如下两个条件的任意一个，那么彩票就是“可能中奖彩票”：
1、彩票前K个数字的总和等于最后K个数字的总和。
2、下标是奇数的所有数字的总和 必须等于 下标是偶数的所有数字的总和。

给出数组：lucky[1…n]，其中 1 <=n <= 10， 0<=lucky[i]<=9，每一个lucky[i]都是“幸运数字”，lucky[i]互不相同。
如果一张彩票是“可能中奖彩票”，而且该彩票的每一个数字都是“幸运数字”，那么该彩票就是“一定中奖彩票”。
问题是：总共有多少张不同的“一定中奖彩票”？ 答案模999983。 请记住，“一定中奖彩票”可能包含前导零。

输入格式

多组测试数据。
第一行，一个整数G，表示有G组测试数据。 1 <= G <= 6
每组测试数据格式：
第一行，两个整数，K和n 。1 <= K <= 50， 1<=n<=10。
第二行，n个整数，第i个整数是lucky[i]。 0<=lucky[i]<=9, lucky[i]互不相同。

输出格式

共G行，每行一个整数。

输入样例

6
1 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 2
2 1 
2 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10 3
7 3 1 
50 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
46 8
2 8 7 5 9 6 0 4

输出样例

10
8
1240
207444
367584
537052

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解题思路

题目大意：给出一个lucky数组，求有多少张“一定中奖彩票”。

从题目中我们知道，目标数列符合以下条件：

1. 有$2\times K$个数字
2. 这$2\times K$个数字必须是lucky数组中的任意一个
3. 彩票前K个数字的总和等于最后K个数字的总和
   或者
   下标是奇数的所有数字的总和 必须等于 下标是偶数的所有数字的总和

我们根据容斥原理可以得知
设满足第3个条件的第1个条件以及其它必备条件为种类A
设满足第3个条件的第2个条件以及其它必备条件为种类B
设满足第3个条件当中的所有条件以及其它必备条件为种类C
$Ans=A+B-C$

$A$怎么求呢？动态规划！

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我们先将这$2\times K$个数字分成2部分，前$K$个为一部分，后$K$个为一部分
求出前一部分总和为$i$的方案数$F_i$，那么根据乘法原理两个部分总和为$i$的的方案数就是$F_i\times F_i即F_i^2$

所有总和情况的方案数就是$$\sum _{i=1}^{tot}{F}_i\times F_i$$
设$f[i][j]$表示当前选了lucky数组里的$i$个数字，总和为$j$的方案数
$$f[i][j]=\sum _{k=1}^{n}f[i-1][j-lucky[k]]$$
将$f[i][j]$代入总求和式子
$$\sum _{i=1}^{tot}f[K][i]\times f[K][i]$$

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求$B$的方法与求$A$的一样，为什么呢？

好了，到这一步我们要求$C$情况的方案数

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这时我们利用刚刚求出的$f$，枚举$sum1,sum2$：
前$K$个奇数位置：1,3对应了$f[K-K/2][sum1]$
前$K$个偶数位置：2,4对应$f[K/2][sum2]$
后$K$个奇数位置：7,9对应$f[K/2][sum2]$
后$K$个偶数位置：6,8对应了$f[K-K/2][sum1]$
结果就是$f[K-K/2][sum1]\times f[K/2][sum2]\times f[K-K/2][sum1]\times f[K/2][sum2]$

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本题终于完成。

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代码

/*
条件：
1、彩票前K个数字的总和等于最后K个数字的总和。
2、下标是奇数的所有数字的总和   必须等于  下标是偶数的所有数字的总和。
3、而且该彩票的每一个数字都是“幸运数字”

同时满足1,3的情况为A
同时满足2,3的情况为B
同时满足1,2,3的情况为C

根据容斥原理，可知
答案=A+B-C

A,B的求法：往K个空位里填n个幸运数字，用动态规划求解
C的求法：在2*K个数字里，将这些数字根据条件1,2分成几组
例如当K=5时，枚举sum1,sum2
前K个奇数位置：1,3,5对应了f[K-K/2][sum1]
前K个偶数位置：2,4对应f[K/2][sum2]
后K个奇数位置：7,9对应f[K/2][sum2]
后K个偶数位置：6,8,10对应了f[K-K/2][sum1]
将这4种情况相乘，得出c
求和sum1*sum2种相同c情况得到C
*/
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int G,K,n;
long long f[55][500],lucky[20];
long long ans;

int main()
{
    
    
	freopen("2788.in","r",stdin);
	freopen("2788.out","w",stdout);
     cin>>G;
	 for(int gr=1;gr<=G;gr++)
	 {
    
    
		 cin>>K>>n;
		 ans=0;
		 memset(f,0,sizeof(f));
		 for(int i=1;i<=n;i++)
		 {
    
    
			cin>>lucky[i];
			f[1][lucky[i]]=1;
			if(lucky[i]==0)//当幸运数字里有0时，选K个幸运数字，和为0的情况只有1种
			{
    
    
				for(int j=0;j<=K;j++)
					f[j][0]=1;
			}
		 }
		 for(int i=2;i<=K;i++)
		 {
    
    
			 for(int j=1;j<=450;j++)
				for(int l=1;l<=n;l++)
				 {
    
    
					 if(j>=lucky[l])
					 {
    
    
						f[i][j]+=f[i-1][j-lucky[l]]%999983;//dp求方案数
						f[i][j]%=999983;
					 }
				 }
		 }
		 for(int j=0;j<=450;j++)
		 {
    
    
			 ans+=(f[K][j]*f[K][j])%999983;//求出A
			 ans%=999983;
			 ans+=(f[K][j]*f[K][j])%999983;//求出B
			 ans%=999983;
		 }                                                     
		 for(int i=0;i<=450;i++)//枚举sum1
		 {
    
    
			 for(int j=0;j<=450;j++)//枚举sum2
				 {
    
    
					 long long a=f[K/2][i]*f[K-K/2][j]%999983;
					 ans-=(a*a)%999983;
					 if(ans<0)//当答案出现负数时，加上模数确保答案正确
						ans+=999983;
					 ans%=999983;
				 }
		 }
		 cout<<ans<<endl;
	 }

    return 0;
}