根轨迹关于实轴对称的证明及实系数多项式共轭求解

根轨迹关于实轴对称的证明

引理1.代数学基本定理

任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）

$$p(x)=a_n(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)\dots (x-z_1),z_i\in C$$
p(x) 的复根必是成对出现的，即若 a+bi是根，则其共轭a-bi 也是。
由此可知:
$$[x-(a+bi)]\times [x-(a-bi)]=x^2-2ax+(a^2+b^2)$$
故任意多项式必可写成一次或二次实系数因子的乘积。

引理2.二次实系数多项式的共轭

设有二次多项式
$$g(s)=s^2+as+b$$
对其取共轭的结果为：
$$(s^2+as+b{)}^{\ast }=(s^2{)}^{\ast }+a{s}^{\ast }+b$$
整理该式，可得：
$$\begin{gathered} (s^2{)}^{\ast }=(s\times s{)}^{\ast }=s^{\ast }\cdot s^{\ast }=(s^{\ast }{)}^2 \\ 即：(s^2+as+b{)}^{\ast }=(s^2{)}^{\ast }+a{s}^{\ast }+b=(s^{\ast }{)}^2+a{s}^{\ast }+b \\ 即：g(s{)}^{\ast }=g(s^{\ast }) \end{gathered}$$
其实，上述结论对所有的实系数多项式均成立，证明同理
如果一个多项式为实系数多项式，那么对它取共轭只需要将s变量换为s^*即可

3.证明过程

$$\begin{gathered} 假设一控制系统如上图所示，则闭环传递函数可以表示为： \\ {G}_{cl}(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)F(s)},考虑闭环传递函数的极点，则有 \\ 1+G(s)F(s)=0 \end{gathered}$$
其中，G(s)F(s)为实系数多项式，由代数学基本定理可知，
该项一定能分解为一个一次或二次实系数因子的乘积,故可以将F(s)G(s)写成如下的形式：

$$\begin{gathered} 1+K\frac{(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)}{(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_n)}=0 \\ 其中，p是开环传递函数的极点，z是开环传递函数的零点 \\ 上式可进一步整理为： \\ (s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_n)+K(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_n)=0 \end{gathered}$$
这里面，我们将共轭的极点和零点重新整理成二次多项式的形式，此时，K与s的函数为一实系数的函数这里我们假设零点和极点中都有一对共轭极点，这样，特征方程可以整理成：
$$(s-p_1)(s-p_2)\dots (s-p_{n-2})(s^2+as+b)+K(s-z_1)(s-z_2)\dots (s-z_{n-2})(s^2+cs+d)$$
由引理2及复数的运算性质
对上述等式取共轭运算，相当于将上述等式中所有s换成s^*
即满足：
$$1+G(s^{\ast })F(s^{\ast })=0$$
由上下两个红色等式可知：复闭环极点共轭成对出现，根轨迹关于实轴对称。