题意
有 n n n堆石子( n n n为偶数),每次玩家要选择恰好 n 2 \frac{n}{2} 2n堆石子,并从每一堆中任意拿走数量大于 0 0 0的石子(每堆拿的数量可以不同)。问先手是否必胜。
分析
先上结论:当石子数最小的堆数量不超过 n 2 \frac{n}{2} 2n时,先手必胜,否则先手必败。
接下来是感性理解时间。
我们考虑最小堆数量超过 n 2 \frac{n}{2} 2n的情况。那么此时先手不管如何选取,都会选到一个最小堆,由于要求每轮取得石子数量大于 0 0 0,那么最小堆的石子数必然会减少,而且此时取完后最小堆的数量就不会超过 n 2 \frac{n}{2} 2n。
然后到了下一轮,那么此时后手可以选择不包含最小堆的 n 2 \frac{n}{2} 2n堆,把它们全部变成最小堆,那么此时显然最小堆数量又将大于 n 2 \frac{n}{2} 2n。那么就将进入一个循环。
但是这个循环总会有终止的时刻,也就是当最小堆石子数量为 0 0 0且堆数超过 n 2 \frac{n}{2} 2n时,游戏结束,最后操作的人获胜。观察上面的过程,我们发现只有后手才能把最小堆的数量变为超过 n 2 \frac{n}{2} 2n,而先手只能被动地将最小值变小,所以最后胜利者一定是后手。
所以得出结论:当石子数最小的堆数量不超过 n 2 \frac{n}{2} 2n时,先手必胜,否则先手必败。
#include <bits/stdc++.h>
#define MAX 105
using namespace std;
int n;
int a[MAX];
int main()
{
cin >> n;
int mn = 0x3f3f3f3f, cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
scanf("%d", &a[i]);
if(a[i] < mn) mn = a[i], cnt = 1;
else if(a[i] == mn) cnt++;
}
if(cnt <= n/2) puts("Alice");
else puts("Bob");
return 0;
}