1
优美的高斯分布
[P29]图1.16很好的描绘了这样表达的优美之处：
2
极大似然估计的病态拟合
3
参数-Regularizer
4
先验分布：高斯分布
高斯分布应该算是我们认知中，描绘一切连续型数值不确定性的最基本、最硬派的先验知识了。
甭管你是什么妖魔鬼怪，只要你是连续的，不是离散的，先给你套个高斯分布的罪状。
当然，钦定高斯分布从数学角度是由原因的，和其优美的数学共轭形式有关。
[P98]的练习证明了，高斯似然分布 x 高斯先验分布，结果仍然是一个高斯分布。
(此证明需要熟读第二章关于高斯分布的 150 个公式，需要很好的概率论、线代基础。)
高斯分布在数学形式上有许多便利，比如下面提到的零均值简化版高斯分布，这为贝叶斯方法招来很多
恶评，[P23] 是这样解释的：贝叶斯方法广受批判的原因之一，是因为其在选取先验概率分布上，根据的是
数学形式的便利为基础而不是 先验分布的信度 。
贝叶斯方法讲究推导严谨，公式齐全，对于那些奇怪的、无法用数学语言表达原理的、广布自然界的先验知识，
如Deep Learning思想，自然不会考虑，这也是为什么有人会认为Deep Learning与Bayesian是对着干的。[Quroa]
5
波动性惩罚：简化高斯分布
6
稀疏性惩罚：L1 Regularizer
I、大脑中有1000亿以上的神经元，但是同时只有1%~4%激活，而且每次激活的区域都不一样。
这是生物神经中的稀疏性。
II、稀疏性将原本信息缠绕密集数据给稀疏化，得到稀疏特征表达。比如将实数5，稀疏为一个[1,0,1]向量，
很容易线性可分了。又比如识别一直鸟，只要把噪声给稀疏掉，保留关键部位，最后就有更好的特征表达。
这是特征表达上的稀疏性，实际应用有[稀疏编码][深度神经网络]，当然还有我们的生物神经网络。
当然，以上和L1 Regularizer毫无关系，因为它稀疏的姿势错了，要不然还要Deep Learning作甚。
首先，这个稀疏策略没有Adaptive性，它并不会智能地的发现哪里需要稀疏，哪里不需要稀疏。
从数学规划问题角度理解，它就是一个多元的约束条件，至于哪个元倒霉到被约束至0，这个没人能确定。
其次，参数W直接影响着模型拟合能力，对它错误地稀疏0化，会造成严重的欠拟合。
基于以上两点，不能认为L1与L2类似，就认为L1也能缓解过拟合，实际上它更有可能造成欠拟合。
7
L1&L2 Regularizer图形化理解
来自[P146]、[P107].CHS.HIT.马春鹏的有趣配图，似乎能解释为什么L1会直接得到0，而L2却是无限接近0。
8
更好地发现特征：Adaptive Represention Regularizer
Hinton组的[Erhan10] 认为Deep Learning的Pre-Training也是一个Regularizer，原因有二：
其一，预训练后参数W的搜索方向，有更大可能从局部最小值中逃逸。
其二，预训练后参数W的搜索方向，让似然函数值变大，但是得到了更好的归纳能力(测试错误率变低)。
第一点是比较神奇的Regularizer效果，即使是身披图灵奖的Bayesian方法，也是无法解释的。
第二点有点像是L2 Regularizer的效果，但是更大可能是与模型内部存有的Attention机制有关。
若是固定Pre-Training之后的参数W，那么Pre-Training等效于一个非线性的PCA，预先注入了
对无标签观测数据的先验知识，即得到了更合理的P(W)，这又是Bayesian方法所无法解释的。
9
可靠的稀疏性：Adaptive Sparsity Regularizer
Deep Learning中有两个能够自适应引入稀疏性的方法，[ReLU]&[Dropout]。
I、[ReLU]对神经元的输出稀疏，而神经元的输出显然是可变的。
II、[Dropout]是对神经元的输出稀疏，不过方式有点特别，采用随机概率来决定，而不是自适应方法。
但这并不能表明[Dropout]得不到自适应稀疏，它的自适应恰恰来自于随机本身。
由于随机性，每次网络结构都不同，这压迫了参数W朝一个稳定方向调整。
如2.1.2分析，[I]可以认为是发现了稀疏特征，替代L1。[II]可以认为是类似生物神经网络的稀疏激活机制，替代L2。
这两者并不冲突，所以常规Deep Learning模型中，[I]+[II]是标配手段。
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