索引
- 传送门
- 定理1 设 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, 则 1 , r , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) − 1 1,r,{ {r}^{2}},\cdots ,{ {r}^{\varphi \left( m \right)-1}} 1,r,r2,⋯,rφ(m)−1是模 m m m的既约剩余系.
- 定理2 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, ∀ a ∈ Z \forall a\in \mathbb{Z} ∀a∈Z, 若 gcd ( a , m ) > 1 \gcd \left( a,m \right)>1 gcd(a,m)>1, 则方程 r x ≡ a m o d m { {r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm无解(注意未知量 x x x的位置在指数位).
- 定理3 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, ∀ a ∈ Z \forall a\in \mathbb{Z} ∀a∈Z, 若 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 则方程 r x ≡ a m o d m { {r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm有唯一解(注意未知量 x x x的位置在指数位).
- 定义4 设 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, 若 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 由定理3, 方程 r x ≡ a m o d m { {r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm有唯一解, 记该解为 x ≡ i n d r a m o d φ ( m ) , x\equiv in{ {d}_{r}}a\text{ }\bmod \varphi \left( m \right), x≡indra modφ(m),称 i n d r a ∈ { 0 , 1 , ⋯ , φ ( m ) − 1 } in{ {d}_{r}}a\in \left\{ 0,1,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\} indra∈{ 0,1,⋯,φ(m)−1}为以 r r r为底的 a a a对模 m m m的一个指标(/离散对数).
- 性质5 设 m ∈ Z > 0 m\in {
{\mathbb{Z}}_{>0}} m∈Z>0有原根 r r r, gcd ( a b , m ) = 1 \gcd \left( ab,m \right)=1 gcd(ab,m)=1, 则
(i) in d r 1 = 0 m o d φ ( m ) \text{in}{ {\text{d}}_{r}}1=0\text{ }\bmod \varphi \left( m \right) indr1=0 modφ(m).
(ii) in d r ( a b ) ≡ in d r ( a ) + in d r ( b ) mod φ ( m ) \text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( ab \right)\equiv \text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( a \right)+\text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( b \right)\text{ mod}\varphi \left( m \right) indr(ab)≡indr(a)+indr(b) modφ(m). - 推论6 设 m ∈ Z > 0 m\in { {\mathbb{Z}}_{>0}} m∈Z>0有原根 r r r, gcd ( a 1 a 2 ⋯ a n , m ) = 1 \gcd \left( { {a}_{1}}{ {a}_{2}}\cdots { {a}_{n}},m \right)=1 gcd(a1a2⋯an,m)=1, 则成立 in d r ( ∏ i = 1 n a i ) ≡ ∑ i = 1 n in d r ( a i ) m o d φ ( m ) . \text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( \prod\limits_{i=1}^{n}{ { {a}_{i}}} \right)\equiv \sum\limits_{i=1}^{n}{\text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( { {a}_{i}} \right)}\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indr(i=1∏nai)≡i=1∑nindr(ai) modφ(m).
- 推论7 设 m ∈ Z > 0 m\in { {\mathbb{Z}}_{>0}} m∈Z>0有原根 r r r, gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 则成立 in d r ( a n ) ≡ n in d r ( a ) m o d φ ( m ) , ∀ n ∈ Z > 0 . \text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( { {a}^{n}} \right)\equiv n\text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( a \right)\text{ }\bmod \varphi \left( m \right),\text{ }\forall n\in { {\mathbb{Z}}_{>0}}. indr(an)≡nindr(a) modφ(m), ∀n∈Z>0.
- 命题8 设模 m ( m > 2 ) m\left( m>2 \right) m(m>2)的原根是存在的, 则对模 m m m的任一原根 r r r来说, − 1 -1 −1的指标总是 1 2 φ ( m ) \frac{1}{2}\varphi \left( m \right) 21φ(m).
- 定理9 设 g , g 1 g,{ {g}_{1}} g,g1是模 m m m的两个原根, gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 则成立 in d g a ≡ in d g g 1 ⋅ in d g 1 a m o d φ ( m ) . \text{in}{ {\text{d}}_{g}}a\equiv \text{in}{ {\text{d}}_{g}}{ {g}_{1}}\centerdot \text{in}{ {\text{d}}_{ { {g}_{1}}}}a\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indga≡indgg1⋅indg1a modφ(m).
- 推论10 设 g , g 1 g,{ {g}_{1}} g,g1是模 m m m的两个原根, 成立 in d g 1 g ⋅ in d g g 1 ≡ 1 mod φ ( m ) . \text{in}{ {\text{d}}_{ { {g}_{1}}}}g\centerdot \text{in}{ {\text{d}}_{g}}{ {g}_{1}}\equiv 1\text{ mod}\varphi \left( m \right). indg1g⋅indgg1≡1 modφ(m).
传送门
本篇文章相关的练习可以参见博文《数论之指标(离散对数) 若干练习》.
定理1 设 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, 则 1 , r , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) − 1 1,r,{ {r}^{2}},\cdots ,{ {r}^{\varphi \left( m \right)-1}} 1,r,r2,⋯,rφ(m)−1是模 m m m的既约剩余系.
证明 m m m有原根 r r r, 由博文《指数和原根》中的定理12, 得
gcd ( r , m ) = 1. (1.1) \gcd \left( r,m \right)=1. \tag{1.1} gcd(r,m)=1.(1.1)
其一, 由式(1.1), 得 ∀ k ∈ Z > 0 \forall k\in {
{\mathbb{Z}}_{>0}} ∀k∈Z>0, gcd ( r k , m ) = 1 \gcd \left( {
{r}^{k}},m \right)=1 gcd(rk,m)=1, 即 1 , r , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) − 1 1,r,{
{r}^{2}},\cdots ,{
{r}^{\varphi \left( m \right)-1}} 1,r,r2,⋯,rφ(m)−1均与 m m m互素.
其二, r r r是 m m m的原根蕴涵 r r r对模 m m m的指数 δ = φ ( m ) \delta =\varphi \left( m \right) δ=φ(m), 并由式(1.1)和博文《指数和原根》中的定理5(1), 得 1 , r , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) − 1 1,r,{
{r}^{2}},\cdots ,{
{r}^{\varphi \left( m \right)-1}} 1,r,r2,⋯,rφ(m)−1对模 m m m两两不同余.
其三, 模 m m m的既约剩余类一共有 φ ( m ) \varphi \left( m \right) φ(m)个.
综上, 1 , r , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) − 1 1,r,{
{r}^{2}},\cdots ,{
{r}^{\varphi \left( m \right)-1}} 1,r,r2,⋯,rφ(m)−1这 φ ( m ) \varphi \left( m \right) φ(m)个数构成模 m m m的一个既约剩余系.
定理2 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, ∀ a ∈ Z \forall a\in \mathbb{Z} ∀a∈Z, 若 gcd ( a , m ) > 1 \gcd \left( a,m \right)>1 gcd(a,m)>1, 则方程 r x ≡ a m o d m { {r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm无解(注意未知量 x x x的位置在指数位).
证明 r r r是模 m m m的原根, 成立
r φ ( m ) ≡ 1 m o d m . (2.1) {
{r}^{\varphi \left( m \right)}}\equiv 1\text{ }\bmod m. \tag{2.1} rφ(m)≡1 modm.(2.1)
若 r x ≡ a m o d m {
{r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm有解, 设其一个解为 x 0 {
{x}_{0}} x0, 成立
r x 0 ≡ a m o d m . (2.2) {
{r}^{
{
{x}_{0}}}}\equiv a\text{ }\bmod m. \tag{2.2} rx0≡a modm.(2.2)
对 x 0 {
{x}_{0}} x0与 φ ( m ) \varphi \left( m \right) φ(m)作带余除法得到
x 0 = q ⋅ φ ( m ) + b , 0 ≤ b ≤ φ ( m ) − 1. (2.3) {
{x}_{0}}=q\centerdot \varphi \left( m \right)+b,\text{ }0\le b\le \varphi \left( m \right)-1. \tag{2.3} x0=q⋅φ(m)+b, 0≤b≤φ(m)−1.(2.3)
由式(2.1), (2.2), (2.3), 成立
a ≡ r x 0 = r q ⋅ φ ( m ) + b = ( r φ ( m ) ) q ⋅ r b ≡ r b m o d m , 0 ≤ b ≤ φ ( m ) − 1. (2.4) a\equiv {
{r}^{
{
{x}_{0}}}}={
{r}^{q\centerdot \varphi \left( m \right)+b}}={
{\left( {
{r}^{\varphi \left( m \right)}} \right)}^{q}}\centerdot {
{r}^{b}}\equiv {
{r}^{b}}\text{ }\bmod m,\text{ }0\le b\le \varphi \left( m \right)-1. \tag{2.4} a≡rx0=rq⋅φ(m)+b=(rφ(m))q⋅rb≡rb modm, 0≤b≤φ(m)−1.(2.4)
一方面, 由式(2.4), 成立
gcd ( a , m ) = gcd ( r b , m ) . (2.5) \gcd \left( a,m \right)=\gcd \left( {
{r}^{b}},m \right). \tag{2.5} gcd(a,m)=gcd(rb,m).(2.5)
另一方面, 由 r r r是模 m m m的原根和定理1, 成立
gcd ( r b , m ) = 1. (2.6) \gcd \left( {
{r}^{b}},m \right)=1. \tag{2.6} gcd(rb,m)=1.(2.6)
由式(2.5), (2.6), 成立 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 这与条件 gcd ( a , m ) > 1 \gcd \left( a,m \right)>1 gcd(a,m)>1矛盾. 由反证法, 方程 r x ≡ a m o d m {
{r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm无解.
定理3 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, ∀ a ∈ Z \forall a\in \mathbb{Z} ∀a∈Z, 若 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 则方程 r x ≡ a m o d m { {r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm有唯一解(注意未知量 x x x的位置在指数位).
证明
首先证明方程的解存在. 一方面, r r r是模 m m m的原根, 由定理1, 1 , r , r 2 , ⋯ , r φ ( m ) − 1 1,r,{
{r}^{2}},\cdots ,{
{r}^{\varphi \left( m \right)-1}} 1,r,r2,⋯,rφ(m)−1是模 m m m的既约剩余系. 另一方面, gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, a a a在模 m m m的某一个既约剩余类中. 由既约剩余系和既约剩余类的关系, ∃ b ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ , φ ( m ) − 1 } \exists b\in \left\{ 0,1,2,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\} ∃b∈{
0,1,2,⋯,φ(m)−1}, 成立
r x ≡ a ≡ r b m o d m . {
{r}^{x}}\equiv a\equiv {
{r}^{b}}\text{ }\bmod m. rx≡a≡rb modm.
由博文《指数和原根》中的定理5(2), 方程 r x ≡ a m o d m {
{r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm有解 x ≡ b m o d φ ( m ) x\equiv b\text{ }\bmod \varphi \left( m \right) x≡b modφ(m).
其次证明方程的解是唯一的. 设存在非负整数 b 1 , b 2 {
{b}_{1}},{
{b}_{2}} b1,b2, 成立
r b 1 ≡ r b 2 ≡ a m o d m . {
{r}^{
{
{b}_{1}}}}\equiv {
{r}^{
{
{b}_{2}}}}\equiv a\text{ }\bmod m. rb1≡rb2≡a modm.
r r r是模 m m m的原根, r r r对模 m m m的指数是 φ ( m ) \varphi \left( m \right) φ(m), 且 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 结合博文《指数和原根》中的定理5(2), 成立
b 1 ≡ b 2 m o d φ ( m ) . {
{b}_{1}}\equiv {
{b}_{2}}\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). b1≡b2 modφ(m).
因此任意两个满足方程 r x ≡ a m o d m {
{r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm的解 b 1 , b 2 {
{b}_{1}},\text{ }{
{b}_{2}} b1, b2对模 φ ( m ) \varphi \left( m \right) φ(m)同余, 即方程存在唯一的解
x ≡ b 1 m o d φ ( m ) . x\equiv {
{b}_{1}}\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). x≡b1 modφ(m).
定义4 设 m ∈ Z > 1 m\in { {\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根 r r r, 若 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 由定理3, 方程 r x ≡ a m o d m { {r}^{x}}\equiv a\text{ }\bmod m rx≡a modm有唯一解, 记该解为 x ≡ i n d r a m o d φ ( m ) , x\equiv in{ {d}_{r}}a\text{ }\bmod \varphi \left( m \right), x≡indra modφ(m),称 i n d r a ∈ { 0 , 1 , ⋯ , φ ( m ) − 1 } in{ {d}_{r}}a\in \left\{ 0,1,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\} indra∈{ 0,1,⋯,φ(m)−1}为以 r r r为底的 a a a对模 m m m的一个指标(/离散对数).
注 由博文《原根的存在性 相关定理(二)》中的定理13, m ∈ Z > 1 m\in {
{\mathbb{Z}}_{>1}} m∈Z>1有原根当且仅当 m = 2 , 4 , p k , 2 p k m=2,4,{
{p}^{k}},2{
{p}^{k}} m=2,4,pk,2pk, 其中 p p p是奇素数, k ∈ Z > 0 k\in {
{\mathbb{Z}}_{>0}} k∈Z>0. 因此讨论指标首先要确保模数 m m m具有形式 2 , 4 , p k , 2 p k 2,4,{
{p}^{k}},2{
{p}^{k}} 2,4,pk,2pk, 在此基础上还要找出 m m m的原根 r r r, 然后才来求解相应的指标.
性质5 设 m ∈ Z > 0 m\in {
{\mathbb{Z}}_{>0}} m∈Z>0有原根 r r r, gcd ( a b , m ) = 1 \gcd \left( ab,m \right)=1 gcd(ab,m)=1, 则
(i) in d r 1 = 0 m o d φ ( m ) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}1=0\text{ }\bmod \varphi \left( m \right) indr1=0 modφ(m).
(ii) in d r ( a b ) ≡ in d r ( a ) + in d r ( b ) mod φ ( m ) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( ab \right)\equiv \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( a \right)+\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( b \right)\text{ mod}\varphi \left( m \right) indr(ab)≡indr(a)+indr(b) modφ(m).
证明
(i) 由于 r r r是模 m m m的原根, 因此成立
min { n ∈ Z > 0 : r n ≡ 1 m o d m } = φ ( m ) . \min \left\{ n\in {
{\mathbb{Z}}_{>0}}:\text{ }{
{r}^{n}}\equiv 1\text{ }\bmod m \right\}=\varphi \left( m \right). min{
n∈Z>0: rn≡1 modm}=φ(m).
gcd ( 1 , m ) = 1 \gcd \left( 1,m \right)=1 gcd(1,m)=1, 由定义4, r x ≡ 1 m o d m {
{r}^{x}}\equiv 1\text{ }\bmod m rx≡1 modm的解是唯一的, in d r 1 \text{in}{
{\text{d}}_{r}}1 indr1满足
in d r 1 ≡ φ ( m ) mod φ ( m ) , (5.1) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}1\equiv \varphi \left( m \right)\text{ mod}\varphi \left( m \right), \tag{5.1} indr1≡φ(m) modφ(m),(5.1)
in d r 1 ∈ { 0 , ⋯ , φ ( m ) − 1 } . (5.2) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}1\in \left\{ 0,\cdots ,\varphi \left( m \right)-1 \right\}. \tag{5.2} indr1∈{
0,⋯,φ(m)−1}.(5.2)
由式(5.1), (5.2), 即有
in d r 1 = 0 m o d φ ( m ) . \text{in}{
{\text{d}}_{r}}1=0\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indr1=0 modφ(m).
(ii) 首先由 gcd ( a b , m ) = 1 \gcd \left( ab,m \right)=1 gcd(ab,m)=1有 gcd ( a , m ) = gcd ( b , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=\gcd \left( b,m \right)=1 gcd(a,m)=gcd(b,m)=1. 由定义4, in d r ( a b ) , in d r ( a ) , in d r ( b ) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( ab \right),\text{ in}{
{\text{d}}_{r}}\left( a \right),\text{ in}{
{\text{d}}_{r}}\left( b \right) indr(ab), indr(a), indr(b)是存在的, 有意义的. 基于此, 由指标的定义4, 成立
r in d r ( a b ) ≡ a b ≡ r in d r ( a ) r in d r ( b ) = r in d r ( a ) + in d r ( b ) m o d m . {
{r}^{\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( ab \right)}}\equiv ab\equiv {
{r}^{\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( a \right)}}{
{r}^{\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( b \right)}}={
{r}^{\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( a \right)+\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( b \right)}}\text{ }\bmod m. rindr(ab)≡ab≡rindr(a)rindr(b)=rindr(a)+indr(b) modm.
由于 r r r是模 m m m原根, 由博文《指数和原根》中的定理12有 gcd ( r , m ) = 1 \gcd \left( r,m \right)=1 gcd(r,m)=1, 基于此, 由博文《指数和原根》中的定理5(2), 直接成立
in d r ( a b ) ≡ in d r ( a ) + in d r ( b ) m o d φ ( m ) , \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( ab \right)\equiv \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( a \right)+\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( b \right)\text{ }\bmod \varphi \left( m \right), indr(ab)≡indr(a)+indr(b) modφ(m),
其中 φ ( m ) \varphi \left( m \right) φ(m)是原根 r r r对模 m m m的指数.
推论6 设 m ∈ Z > 0 m\in { {\mathbb{Z}}_{>0}} m∈Z>0有原根 r r r, gcd ( a 1 a 2 ⋯ a n , m ) = 1 \gcd \left( { {a}_{1}}{ {a}_{2}}\cdots { {a}_{n}},m \right)=1 gcd(a1a2⋯an,m)=1, 则成立 in d r ( ∏ i = 1 n a i ) ≡ ∑ i = 1 n in d r ( a i ) m o d φ ( m ) . \text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( \prod\limits_{i=1}^{n}{ { {a}_{i}}} \right)\equiv \sum\limits_{i=1}^{n}{\text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( { {a}_{i}} \right)}\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indr(i=1∏nai)≡i=1∑nindr(ai) modφ(m).
证明 由性质5(ii)和第一数学归纳法即可证得.
推论7 设 m ∈ Z > 0 m\in { {\mathbb{Z}}_{>0}} m∈Z>0有原根 r r r, gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 则成立 in d r ( a n ) ≡ n in d r ( a ) m o d φ ( m ) , ∀ n ∈ Z > 0 . \text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( { {a}^{n}} \right)\equiv n\text{in}{ {\text{d}}_{r}}\left( a \right)\text{ }\bmod \varphi \left( m \right),\text{ }\forall n\in { {\mathbb{Z}}_{>0}}. indr(an)≡nindr(a) modφ(m), ∀n∈Z>0.
证明 令推论6中的 a 1 = a 2 = ⋯ = a n = a {
{a}_{1}}={
{a}_{2}}=\cdots ={
{a}_{n}}=a a1=a2=⋯=an=a, 即可证得.
命题8 设模 m ( m > 2 ) m\left( m>2 \right) m(m>2)的原根是存在的, 则对模 m m m的任一原根 r r r来说, − 1 -1 −1的指标总是 1 2 φ ( m ) \frac{1}{2}\varphi \left( m \right) 21φ(m).
证明 问题等价于证明成立
in d r ( − 1 ) ≡ 1 2 φ ( m ) m o d φ ( m ) . \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)\equiv \frac{1}{2}\varphi \left( m \right)\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indr(−1)≡21φ(m) modφ(m).
模 m m m的原根存在, 又 m > 2 m>2 m>2, 由博文《原根的存在性 相关定理(二)》中的定理13, m = 4 m=4 m=4或 p k {
{p}^{k}} pk或 2 p k 2{
{p}^{k}} 2pk, 其中 p p p是奇素数.由于
φ ( 4 ) = 2 , φ ( 2 p k ) = φ ( 2 ) φ ( p k ) = φ ( p k ) = p k − 1 ( p − 1 ) , \varphi \left( 4 \right)=2,\text{ }\varphi \left( 2{
{p}^{k}} \right)=\varphi \left( 2 \right)\varphi \left( {
{p}^{k}} \right)=\varphi \left( {
{p}^{k}} \right)={
{p}^{k-1}}\left( p-1 \right), φ(4)=2, φ(2pk)=φ(2)φ(pk)=φ(pk)=pk−1(p−1),
因此一定成立 2 ∣ φ ( m ) \left. 2 \right|\varphi \left( m \right) 2∣φ(m), 即有
φ ( m ) 2 ∈ Z > 0 . (8.1) \frac{\varphi \left( m \right)}{2}\in {
{\mathbb{Z}}_{>0}}. \tag{8.1} 2φ(m)∈Z>0.(8.1)
r r r是模 m m m的原根, 即 r r r对模 m m m的指数是 φ ( m ) \varphi \left( m \right) φ(m), 由欧拉定理, 成立
r φ ( m ) ≡ 1 m o d m . (8.2) {
{r}^{\varphi \left( m \right)}}\equiv 1\text{ }\bmod m. \tag{8.2} rφ(m)≡1 modm.(8.2)
gcd ( − 1 , m ) = 1 \gcd \left( -1,m \right)=1 gcd(−1,m)=1, in d r ( − 1 ) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right) indr(−1)有意义, 基于此成立
r in d r ( − 1 ) ≡ − 1 m o d m . (8.3) {
{r}^{\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)}}\equiv -1\text{ }\bmod m. \tag{8.3} rindr(−1)≡−1 modm.(8.3)
由式(8.2), (8.3), 成立
r 2 in d r ( − 1 ) ≡ 1 ≡ r φ ( m ) m o d m . {
{r}^{2\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)}}\equiv 1\equiv {
{r}^{\varphi \left( m \right)}}\text{ }\bmod m. r2indr(−1)≡1≡rφ(m) modm.
根据博文《数论之指数和原根》中的定理5(2), 成立 2 in d r ( − 1 ) ≡ φ ( m ) m o d φ ( m ) 2\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)\equiv \varphi \left( m \right)\text{ }\bmod \varphi \left( m \right) 2indr(−1)≡φ(m) modφ(m), 结合式(8.1), 推得
in d r ( − 1 ) ≡ 0 m o d φ ( m ) , 或 in d r ( − 1 ) ≡ 1 2 φ ( m ) m o d φ ( m ) . (8.4) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)\equiv 0\text{ }\bmod \varphi \left( m \right),\text{ 或 in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)\equiv \frac{1}{2}\varphi \left( m \right)\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). \tag{8.4} indr(−1)≡0 modφ(m), 或 indr(−1)≡21φ(m) modφ(m).(8.4)
显然 r in d r ( − 1 ) ≡ − 1 ≡ 1 = r 0 m o d m {
{r}^{\text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)}}\equiv -1\cancel{\equiv }1={
{r}^{0}}\text{ }\bmod m rindr(−1)≡−1≡
1=r0 modm, 由博文《数论之指数和原根》中的定理5(2), 成立
in d r ( − 1 ) ≡ 0 m o d φ ( m ) . (8.5) \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)\cancel{\equiv }0\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). \tag{8.5} indr(−1)≡
0 modφ(m).(8.5)
由式(8.4), (8.5), 成立
in d r ( − 1 ) ≡ 1 2 φ ( m ) m o d φ ( m ) . \text{in}{
{\text{d}}_{r}}\left( -1 \right)\equiv \frac{1}{2}\varphi \left( m \right)\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indr(−1)≡21φ(m) modφ(m).
定理9 设 g , g 1 g,{ {g}_{1}} g,g1是模 m m m的两个原根, gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 则成立 in d g a ≡ in d g g 1 ⋅ in d g 1 a m o d φ ( m ) . \text{in}{ {\text{d}}_{g}}a\equiv \text{in}{ {\text{d}}_{g}}{ {g}_{1}}\centerdot \text{in}{ {\text{d}}_{ { {g}_{1}}}}a\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indga≡indgg1⋅indg1a modφ(m).
证明 由于 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1, 因此 in d g a , in d g 1 a \text{in}{
{\text{d}}_{g}}a,\text{ in}{
{\text{d}}_{
{
{g}_{1}}}}a indga, indg1a有意义. 由于 g 1 {
{g}_{1}} g1是模 m m m的原根, 因此由博文《数论之指数和原根》中的定理12, 成立 gcd ( g 1 , m ) = 1 \gcd \left( {
{g}_{1}},m \right)=1 gcd(g1,m)=1, 因此 in d g g 1 \text{in}{
{\text{d}}_{g}}{
{g}_{1}} indgg1有意义. 基于此, 成立
g in d g a ≡ a m o d m , {
{g}^{\text{in}{
{\text{d}}_{g}}a}}\equiv a\text{ }\bmod m, gindga≡a modm,
g in d g g 1 ≡ g 1 m o d m , {
{g}^{\text{in}{
{\text{d}}_{g}}{
{g}_{1}}}}\equiv {
{g}_{1}}\text{ }\bmod m, gindgg1≡g1 modm,
g 1 in d g 1 a ≡ a m o d m . {
{g}_{1}}^{\text{in}{
{\text{d}}_{
{
{g}_{1}}}}a}\equiv a\text{ }\bmod m. g1indg1a≡a modm.
因此成立
g in d g g 1 ⋅ in d g 1 a = ( g in d g g 1 ) in d g 1 a ≡ g 1 in d g 1 a ≡ a ≡ g in d g a m o d m . {
{g}^{\text{in}{
{\text{d}}_{g}}{
{g}_{1}}\centerdot \text{in}{
{\text{d}}_{
{
{g}_{1}}}}a}}={
{\left( {
{g}^{\text{in}{
{\text{d}}_{g}}{
{g}_{1}}}} \right)}^{\text{in}{
{\text{d}}_{
{
{g}_{1}}}}a}}\equiv {
{g}_{1}}^{\text{in}{
{\text{d}}_{
{
{g}_{1}}}}a}\equiv a\equiv {
{g}^{\text{in}{
{\text{d}}_{g}}a}}\text{ }\bmod m. gindgg1⋅indg1a=(gindgg1)indg1a≡g1indg1a≡a≡gindga modm.
由博文《数论之指数和原根》中的定理5(2), 成立
in d g g 1 ⋅ in d g 1 a ≡ in d g a m o d φ ( m ) . \text{in}{
{\text{d}}_{g}}{
{g}_{1}}\centerdot \text{in}{
{\text{d}}_{
{
{g}_{1}}}}a\equiv \text{in}{
{\text{d}}_{g}}a\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). indgg1⋅indg1a≡indga modφ(m).
推论10 设 g , g 1 g,{ {g}_{1}} g,g1是模 m m m的两个原根, 成立 in d g 1 g ⋅ in d g g 1 ≡ 1 mod φ ( m ) . \text{in}{ {\text{d}}_{ { {g}_{1}}}}g\centerdot \text{in}{ {\text{d}}_{g}}{ {g}_{1}}\equiv 1\text{ mod}\varphi \left( m \right). indg1g⋅indgg1≡1 modφ(m).
证明 令 a = g a=g a=g, 则 a a a是模 m m m的原根, 由博文《数论之指数和原根》中的定理12, 成立 gcd ( a , m ) = 1 \gcd \left( a,m \right)=1 gcd(a,m)=1. 根据定理9, 成立
1 ≡ in d g g ≡ in d g g 1 ⋅ in d g 1 g m o d φ ( m ) . \text{1}\equiv \text{in}{
{\text{d}}_{g}}g\equiv \text{in}{
{\text{d}}_{g}}{
{g}_{1}}\centerdot \text{in}{
{\text{d}}_{
{
{g}_{1}}}}g\text{ }\bmod \varphi \left( m \right). 1≡indgg≡indgg1⋅indg1g modφ(m).