【SSL 例4】[洛谷]斐波那契数列的和【矩阵乘法&数论】

题目描述

$link$
求数列 $f_n=f_{n-2}+f_{n-1}$ 的前 $n$ 项的和，其中 $f_1=1,$$f_2=1$ 输出的数 $mod$ $10^9+7$

输入格式

一个数 $n$。

输出格式

前 $n$ 项和 $mod$ $10^9+7$

输入输出样例

输入 #1

10

输出 #1

143

输入 #2

1234567

输出 #2

624628108

分析：

考虑矩阵$[f_{n-2},f_{n-1},s_{n-2}]$
通过一个矩阵 使得
$$[f_{n-1},f_n,s_{n-1}]=[f_{n-1},f_{n-1}+f_{n-2},s_{n-2}+f_{n-1}]$$
则矩阵为：
$$0,1,0$$

$$1,1,1$$

$$0,0,1$$
答案为$matrix[1][3]$ $s$存储在$[1][3]$

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
long long n;
struct matrix{
    
    
	long long n,m;
	long long F[5][5];
}A,B,C;
matrix operator *(matrix x,matrix y)
{
    
    
	matrix AwA;
	AwA.n=x.n;AwA.m=y.m;
	for(int i=1;i<=AwA.n;i++)
		for(int j=1;j<=AwA.m;j++)
			AwA.F[i][j]=0;
	for(int k=1;k<=x.m;k++)
		for(int i=1;i<=x.n;i++)
			for(int j=1;j<=y.m;j++)
				AwA.F[i][j]=(AwA.F[i][j]+x.F[i][k]*y.F[k][j]%mod)%mod;  //矩阵乘
	return AwA; 
}
void ksm(long long x){
    
    
	if(x==1){
    
    
		B=A;
		return;
	}
	ksm(x/2);
	B=B*B;  //快速幂
	if(x&1) B=B*A;
}
int main(){
    
    
	scanf("%lld",&n);
	A.n=3;A.m=3;
	A.F[1][1]=0;A.F[1][2]=1;A.F[1][3]=0;
	A.F[2][1]=1;A.F[2][2]=1;A.F[2][3]=1;  //初始
	A.F[3][1]=0;A.F[3][2]=0;A.F[3][3]=1;
	if(n==1){
    
    
		printf("1");
		return 0;
	}
	else{
    
    
		C.n=1;C.m=3;
		C.F[1][1]=1;C.F[1][2]=1;C.F[1][3]=1;
		ksm(n-1);
		C=C*B;
		printf("%lld",C.F[1][3]);
	}
	return 0;
}

方法2：

有结论：$s_n=f_{n+2}-1$
证明：
$f_{n+2}-1$
$=f_{n+1}+f_n-1$
$=f_n+f_{n-1}+f_n-1$
$=f_n+f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-1}-1$
$=\dots \dots$
$=f_n+f_{n-1}+\dots \dots +f_2+f_1+f_2-1$
其中$f_2=1$ 跟$-1$可以抵消
$\therefore f_n+f_{n-1}+f_{n-2}+\dots \dots +f_2+f_1=s_n$
直接矩阵乘法求出$f_{n+2}$即可
不懂的来这里玩玩呀

CODE：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
long long n;
struct matrix{
    
    
	int n,m;
	long long F[5][5];
}A,B,C;
matrix operator *(matrix x,matrix y)
{
    
    
	matrix AwA;
	AwA.n=x.n;AwA.m=y.m;
	for(int i=1;i<=AwA.n;i++)
		for(int j=1;j<=AwA.m;j++)
			AwA.F[i][j]=0;
	for(int k=1;k<=x.m;k++)
		for(int i=1;i<=AwA.n;i++)
			for(int j=1;j<=AwA.m;j++)
				AwA.F[i][j]=(AwA.F[i][j]+x.F[i][k]*y.F[k][j]%mod)%mod;  //矩阵乘
	return AwA; 
}
void ksm(long long x){
    
    
	if(x==1){
    
    
		B=A;
		return;
	}
	ksm(x/2);  //快速幂
	B=B*B;
	if(x&1) B=B*A;
}
int main(){
    
    
	scanf("%lld",&n);
	A.n=2;A.m=2;
	A.F[1][1]=0;A.F[1][2]=1;
	A.F[2][1]=1;A.F[2][2]=1;
	C.n=1;C.m=2;
	C.F[1][1]=1;C.F[1][2]=1;
	ksm(n+1);  //求出f[n+2]
	C=C*B;
	printf("%lld",C.F[1][1]-1);  //结论
	return 0;
}