【动态规划】跳石板（逐步分析，详例）

跳石板题目描述：
小易来到了一条石板路前，每块石板上从1挨着编号为：1、2、3…
这条石板路要根据特殊的规则才能前进：对于小易当前所在的编号为K的 石板，小易单次只能往前跳K的一个约数(不含1和K)步，即跳到K+X(X为K的一个非1和本身的约数)的位置。 小易当前处在编号为N的石板，他想跳到编号恰好为M的石板去，小易想知道最少需要跳跃几次可以到达。

例如：
N = 4，M = 24：
4->6->8->12->18->24
于是小易最少需要跳跃5次，就可以从4号石板跳到24号石板

思路：

• 这题我们用动态规划的思想，将N~M个石板看做成一个一维数组stepNum[i],其中数组中存储着N到当前位置的最小步数，如果是0说明i号石板无法经过。
• 我们从N号石板开始进行遍历，记录他所能达到的所有下一个石板位置，并记录在stepNum[i]中，这样遍历完所有石板后，先不考虑其他，我们应该能得出：如果stepNum[i]中有的元素任然为0，则该石板不能经过。
• 而在遍历的过程中，我们势必会遇到同一块石板有不同的步数到达，这时候就需要我们进行选择了，选择之前的到达该石板步数和当前步数+1两者最小的，这就是我们的动态规划状态转移方程：stepNum[divNum[j]+i]=min(stepNum[divNum[j]+i],stepNum[i]+1)
• 经过遍历一次后得到结果，jumpNum[M]就是从N开始加，加到M的最少次数，如果是0，说明不可能加到M

例子：4—>24

• i=4（2x2）：4(1)->6(2)
• i=5（无）：stepNum[5]==0 continue；
• i=6（2x3）：4(1)->6(2)->8(3) or 4(1)->6(2)->9(3)
• i=7（无）:stepNum[7]==0 continue;
• i=8（2x4）：4(1)->6(2)->8(3)->10(4) or 4(1)->6(2)->8(3)->12(4)
• i=9（3x3）：4(1)->6(2)->9(3)->12(4)
• i=10（2x5）：4(1)->6(2)->8(3)->10(4)->12(5)
• stepNum[12]=4,stepNum[10]+1=5,说明此时到达12号的石板的步数并非最优解，stepNum[12]=min(stepNum[12],stepNum[10]+1，stepNum[12]选二者最小值4。

详细代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;

void divisorNum(int n,vector<int>& divNum)
{
    
    
    for(int i=2;i<=sqrt((double)n);i++)
    {
    
    
        if(n%i==0)
        {
    
    
            divNum.push_back(i);
            //当两个约数不等的时候，另一个加入
            if(n/i!=i)
                divNum.push_back(n/i);
        }
    }
}

int Jump(int N,int M)
{
    
    
    //存储N到达M需要的步数，将其全部初始化为0，0表示这个石板不能被经过，不为0，则表示之前经过
    vector<int> stepNum(M+1,0);
    //初始化开始N为1，N到N的步数为1
        stepNum[N]=1;
    //从N石板开始，以及更新i石板能到达的石板，并记录到达的步数
    for(int i=N;i<=M;i++)
    {
    
    
        //用来存储i能向前走的步数，即i的约数
        vector<int>divNum;
        //石板不能经过，跳过这次循环
        if(stepNum[i]==0)
        {
    
    
            continue;
        }
        divisorNum(i,divNum);
        //遍历i的约数，逐步尝试从i向前走divBum[j]步
        for(int j=0;j<(int)divNum.size();j++)
        {
    
    
            //divNum[j]：向前走的步数
            //divNum[j]+i:从i走divNum[j]步，当前到达的石板的下标，必须小于M
            //stepNum[divNum[j]+i]!=0：从i走divNum[j]步，到达的石板，此前为被经过
            if(divNum[j]+i<=M && stepNum[divNum[j]+i]!=0)
            {
    
    
                //进入循环，表明石板已经经过，则需要更新他的状态，将其更新为到达所需步数最少的状态
                //有点难理解举个例子：从4->6->9->12需要4步，
                //4->6->8->10->12则需要5步,我们选择4步。
                stepNum[divNum[j]+i]=min(stepNum[divNum[j]+i],stepNum[i]+1);
            }
            //石板未经过，则更新到达石板所需步数的信息（注意：此时不是最小步数！）
            else if(divNum[j]+i<=M)
            {
    
    
                stepNum[divNum[j] + i] = stepNum[i] + 1;
            }
        }
        
    }
    if(stepNum[M]==0)
        return -1;
    return stepNum[M]-1;
}

int main()
{
    
    
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
    
    
        cout<<Jump(n, m)<<endl;
    }
    return 0;
}

最后感谢https://blog.csdn.net/shuffle_ts/article/details/91357800三毛的详解。