2020ICPC济南 A.Matrix Equation（高斯消元）

题意：

$定义两种 01 矩阵矩阵运算 :$
$(1)Z=X×Y,Z_{i,j}=(\sum_{k=1}^nX_{i,k}Y_{k,j})\%2$
$2)Z=X⊙Y,Z_{i,j}=X_{i,j}Y_{i,j}$
$给定 n * n 的 01 矩阵矩阵 A 和 B$
$问有多少个 n * n 的 01 矩阵矩阵 C, 满足 A \times C = B ⊙ C$
$数据范围 : n < = 200$

解法：

$A \times C = B ⊙ C$

$\sum_{k=1}^nA_{i,k}C_{k,j}=B_{i,j}C_{i,j}$

$对于每一个 j, 有 :$

$A_{1,1}C_{1,j}+A_{1,2}C_{2,j}+....A_{1,n}C_{n,j})\%2=B_{1,j}C_{1,j}$

$A_{2,1}C_{2,j}+A_{2,2}C_{2,j}+....A_{2,n}C_{n,j})\%2=B_{2,j}C_{2,j}$

$. . .$

$\%2加法就是异或,所以式子可以变成:$

$A_{1,1}C_{1,j}⊕A_{1,2}C_{2,j}⊕....A_{1,n}C_{n,j}=B_{1,j}C_{1,j}$

$A_{2,1}C_{1,j}⊕A_{2,2}C_{2,j}⊕....A_{2,n}C_{n,j}=B_{2,j}C_{2,j}$

$. . .$

$如果B_{i,j}=0,那么式子右边就是0$

$如果B_{i,j}=1,那么左右同时异或C_{2,j},$

$右边变成0,左边a_{i,i}=1$

$那么式子右边就变成0,左边的A_{j,j}=A_{j,j}⊕1$

$对于每个 j, 用高斯消元分别计算出异或方程组自由元的个数$

$设n列的自由元总个数为cnt,那么答案为2^{cnt}$

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxm=1e3+5;
const int mod=998244353;
int ppow(int a,int b,int mod){
    
    
    int ans=1%mod;a%=mod;
    for(;b;b>>=1,a=1LL*a*a%mod)if(b&1)ans=1LL*ans*a%mod;
    return ans;
}
int A[maxm][maxm];
int B[maxm][maxm];
int n;
//
int a[maxm][maxm],x[maxm];
int freedom[maxm],num;//存储自由元的位置
int Gauss(int m,int n){
    
    //m为行数,n为列数(不含常数列)
    int col=0,k=0;//col为列号,k为行号
    for(;k<m&&col<n;k++,col++){
    
    
        int r=k;
        for(int i=k+1;i<m;i++){
    
    //找系数最大的列
            if(abs(a[i][col])>a[r][col])r=i;
        }
        if(a[r][col]==0){
    
    //如果一列都为0就跳过
            freedom[num++]=col;//存储自由元的列数
            k--;continue;
        }
        if(r!=k)for(int i=col;i<=n;i++){
    
    //交换行
            swap(a[k][i],a[r][i]);
        }
        for(int i=k+1;i<m;i++){
    
    //消元
            if(abs(a[i][col])!=0){
    
    
                for(int j=col;j<=n;j++){
    
    
                    a[i][j]^=a[k][j];
                }
                //a[i][j]=0;
            }
        }
    }
    for(int i=k;i<m;i++){
    
    
        if(a[i][col]!=0)return -1;//无解标志
    }
    if(k<n)return n-k;//如果有自由元，返回自由元个数
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
    
    
        x[i]=a[i][n];
        for(int j=i+1;j<n;j++){
    
    
            x[i]^=(a[i][j]&&x[j]);
        }
    }
    return 0;//有解标志
}
signed main(){
    
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
    
    
        for(int j=0;j<n;j++){
    
    
            scanf("%d",&A[i][j]);
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
    
    
        for(int j=0;j<n;j++){
    
    
            scanf("%d",&B[i][j]);
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int p=0;p<n;p++){
    
    
        for(int i=0;i<n;i++){
    
    
            for(int j=0;j<n;j++){
    
    
                a[i][j]=A[i][j];
            }
            if(B[i][p]==1)a[i][i]^=1;
        }
        int temp=Gauss(n,n);
        if(temp==-1){
    
    
            puts("0");
            return 0;
        }
        cnt+=temp;
    }
    int ans=ppow(2,cnt,mod);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

2020ICPC济南 A.Matrix Equation（高斯消元）

题意：

解法：

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