倍增法应用------LCA（树上最近公共祖先）

前言：

LCA (Least Common Ancestors) ，即最近公共祖先，给定一棵有根树，若结点z既是节点x的祖先，也是节点y的祖先，则称z是x,y的公共祖先。在x,y的所有公共祖先中，深度最大的一个称为x,y的最近公共祖先，记为LCA(x,y)。

LCA(x,y)是x到根的路径与y到根的路径的交会点。它也是x与y之间路径上深度最小的节点。

树上倍增法

树上倍增法

设F[x][k]表示x的$2^k$辈祖先，即从x向根节点走$2^k$步到达的节点。特别地，若该节点不存在，则令F[x][y]=0。F[x][0]就是x的父节点。即x向上走1步就能到达父节点。除此之外，F[x][k] = F[F[x][k-1],[k-1]]。即x的第2k辈祖先是x的父亲的第$2^{k-1}$辈祖先，就比方儿子的爷爷是儿子的爸爸的爸爸。

这类似一个动态规划的过程，“阶段”就是节点的深度。因此，可以对树进行广度优先遍历，按照层次顺序，在节点入队之前，计算它在F数组中相应的值。
以上部分是预处理。时间复杂度为(O(nlogN),之后可以多次对不同的x,y计算LCA，每次询问的时间复杂度为O(logn).
基于F数组的计算LCA(x,y)分为以下几步:

• 设d[x]表示x的深度。不妨设d[x]>=d[y] (否则可交换x,y)。
• 用二进制拆分思想，把x向上调整到与y同一深度。
  具体来说，就是依次尝试从x向上走k = $2^{logn}$,…,$2^1$,$2^0$步，检查到达的节点是否比y深。在每次检查中，若是，则令x = F[x][k]。
• 若此时x == y，说明已经找到了LCA，LCA就等于y。
• 否则，接着用二进制拆分思想，把x,y同时向上调整，并保持深度一致且二者不相会。
  具体来说，就是依次尝试把x,y同时向上走k =$2^{logn}$,…,$2^1$,$2^0$步，在每次尝试中，若F[x][k]!=F[y]k,则令x = F[x][k],y = F[y][k]。
• 此时x,y必定只差一步就相会了，它们的父节点F[x][0]就是LCA.

例题：

A - How far away ？ HDU - 2586

//倍增法
# include <iostream>
# include <cmath>
# include <queue>
using namespace std;

const int N = 40000+10;
int head[N*2],to[N*2],w[N*2],nex[N*2],idx;
int dis[N],d[N],fa[N][20];
int t, n,m,k;
void add(int x,int y,int we){
    nex[++idx] = head[x];
    to[idx] = y;
    w[idx]  = we;
    head[x] = idx;
}

void bfs(){    //它的作用是计算三个数组,d[],dis[],fa[][]
    queue<int> q;
    q.push(1);
    dis[1] = 0;
    d[1]=1;
    while(q.size()){
        int x = q.front();
        q.pop();

        for(int i=head[x];i;i=nex[i]){
            int y = to[i];
            if(d[y]) continue;
            d[y] = d[x]+1;
            dis[y] = dis[x]+w[i];

            fa[y][0] = x;
            for(int j=1;j<=k;++j){
                fa[y][j] = fa[fa[y][j-1]][j-1];
            }

            q.push(y);
        }
    }
}

int LCA(int x,int y){
    if(d[x]>d[y])  swap(x,y);

    for(int i=k;i>=0;--i){
        if(d[fa[y][i]]>=d[x]) y = fa[y][i];
    }
    if(x==y) return x;

    for(int i=k;i>=0;--i){
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
            x = fa[x][i];
            y = fa[y][i];
        }
    }
    return fa[x][0];
 }
int main(void)
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        idx=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            head[i] = 0;
            d[i] = 0;
            dis[i] = 0;
        }
        k = (int)(log(n)/log(2))+1;
        for(int i=1;i<n;++i){
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }

        bfs();

        for(int i=1;i<=m;++i){
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%d\n",dis[x]+dis[y] - 2*dis[LCA(x,y)]);
        }
    }
    return 0;
}