标题质疑 追寻 与成果出版——读戴德金1872年《连续性和无理数》之1
逻辑与数学的联姻，开启于1697年。这一年，德国的莱布尼兹做了也许是最初的算术加法联想，生成了莱布尼兹的逻辑加。莱布尼兹之后100多年，又出现布尔代数的设想，古典逻辑由此有了最初的数学基础，由是，就有了布尔的逻辑加和逻辑乘，大致相当于布尔代数的并和交。
而再其后约百年，哥德尔又把对于算术系统的判定融入到他的不完全性定理之中，逻辑由此而彰显出，似乎和算术有着不解之缘。近来一段时间，接触哥德尔那个著名的定理，加上这个不解之缘，更诱发了我对算术基础理论的好奇与追溯，这一追，就追到了德国的R.戴德金那里。《数 科学的语言》一书告知，1872年戴德金出版的《连续性与无理数》一书，被看作是算术基础理论研究的一个重要源头。
光靠阅读转载的戴德金引文，来理解戴德金的算术基础理论，总觉得不够味道。虽说德文原版的戴德金著作，你无力去啃动它，但翻译为英文版的戴德金著作，你还是有可能啃得动的。这个念头一闪，然后再付诸行动，果然就弄到了一本戴德金的原著英文翻译本，还把一本半文言的戴德金原著中文译本也弄到了，书名为《实数探原》，朱言钧译注，民国书林书局汉译世界名著系列中一本。有了戴德金现成的原著英译本，还搜罗到这个《实数探原》译本，如果束之高阁，让它们静静地躺在书柜之中，岂不有点对不住这付出的精力和银子？我稍有一点犹豫，也许和戴德金一样，来了半个决心，然后就有了决心，拿定了细读这部著作的打算。
两本著作
实数探原
戴德金的两篇随笔
这读戴德金原著的第一篇笔记，从戴德金著作那本书简短的前言开始。
标题一、《连续性与无理数》这一主题，源出于1858年，由一个深切的感觉而产生
如戴德金所言，他研究连续性与无理数这一主题始出于1858年，距今约160年矣。这恰好是英国的布尔发表《思维法则研究》一书的那个时期，该书出版于1853年。当英国人布尔在设想逻辑可以用代数来处理的时候，在德国人那里，算术基础研究的问题开始提上了议事日程。
这本小册子主题的形成，在1858年的秋季，它引起我随后持续多年的思考。我当时作为苏黎世科技学校的一个教授，第一次感到有责任讲讲微分计算的要点。因为我早就感觉到算术缺乏一个实在的科学基础，现在，这个感觉好像比那时更为深切，似乎算术这门学科的确缺乏实在的科学基础。
前言中的这段意译似乎给出了戴德金经常强调的，对于某个事件的感觉feeling。他在1858年前就有了一种感觉，而在此之后，这种感觉更加深切。这种感觉就是：算术这个东西，它在戴德金所在的那个时代，缺乏一个实在的科学基础。那么这里的算术是在处理什么对象的时候，缺乏科学性呢？接下来，戴德金告知，这是算术在处理无限量值而求助于几何的时候。
在讨论一个变量逼近某个固定的有限值的概念notion之时，我们常常寻求几何上的证据。特别是，为了证明以下定理：如果每一量值在不断地连续性变化，但又没有超越全部限度，则那些量值必定是逼近一个极限值，我们也是求助几何上的证据。甚至现在微分计算教学一开始的陈述中所使用的，也是几何直观的手段。如果人们希望节省一些时间，从教学观点来看，这类手段极为有用。但是，这种引入微分计算的几何形式，没有理由被认为是科学的，无人会否认这一点。
那么，这个实在的科学基础指的什么呢？接下来的一段表明，戴德金是在批评一个传统，一个算术常常求助于几何方法的传统。这个传统，用来处理算术的有限对象的时候，也许十分有效。用来进行教学，也许能节省很多时间让学生理解。但用来处理算术中的无限对象，几何给予人的直觉，却使得微分学在其定理的证明中丢失其科学特征。
这就让戴德金在心灵中又产生了一种感觉，当用传统几何方法来给算术中的无限对象提供直觉依据的时候，一种令人不满意的感觉。
标题二、下定决心寻求，对于无限分析原理的一个纯粹而且完美严格的基础
戴德金随后就下了决心：
对我自己而言，这种不满意的感觉是如此重压在心，以致使得我丢不掉对这个问题的思考，决心要解决这个问题，直到我会发现对于无限分析原理的一个纯粹而且完美严格的基础为止。
这样一种强烈的不满意感觉，重压在心，使得戴德金决心为算术找到纯粹而且完美严格的基础。其后，戴德金简要说明了他产生不满意感觉的原因，大致有二。
第一，连续性概念完全没有定义
微分计算处理的是连续的量，但这个连续性到底是个什么东西？在戴德金那个时代，没有任何地方给出解释和说明，更不用说严格的定义了。甚至那个时期，微分计算最为严格的表述，也不是基于其对连续性的证明。而实际上，那时对于连续性的证明，也是很可质疑的。
第二，连续性的定理之证明，常常借用其它未经证明的定理为依据。
如果有证明的话，和这类证明相伴随的，只是或多或少的有关以下事实的意识：他们或者诉求于几何概念，或者诉求于那些被几何暗示着的东西，或者依赖于这样一类定理，绝不是在一个纯粹的算术行为中构建的定理。
由戴德金这种不满意感觉促成的长期思考，终于在1858年的年末有了结果。
标题三、迟来的《连续性与无理数》
戴德金的定理：
如果每一量值在不断地连续性变化，但又没有超越全部限度，则那些量值必定是逼近一个极限值，
对上述定理一个更为认真的研究让戴德金确信，该定理，或者任何一个等价于该定理的命题，就是这样一类可以用某种方式看作为无限分析的充分基础。这类东西留存在算术要素之中，终会发现其质朴的真，并因此而同时保证了连续性本质的实在定义。
戴德金这个作为算术无限分析基础的命题，及其关于连续性的实在定义。他认为，在1858年的11月24日就做成功了，但戴德金的低调和底气不足，让这个思考的成熟结果迟到了十多年。
标题（一）觉得不够简洁，因此没有出版的勇气，下定一半决心的时刻已时过十多年
戴德金认为，他在1858年的11月24日那天，把这个基础性问题给做成功了。几天之后，他与其好友Durege就其考虑结果做了深入的长谈。接之，他又把这个结果对少数学生做了基于算术的科学解释。同时，戴德金还在一个教授的科学俱乐部的Branunschweig中，宣读了这篇论文的一部分，但他还是没有交付出版的勇气。因为他还是觉得，这个表述似乎不那么简洁，再者，理论本身似乎也没有什么特别有指望的东西。
然而，把这个主题更深入地做下去，让它更完善更简洁更有创建，这样一个想法，却是在到了1872年3月14日的那个时刻。
从1858年的秋天，一直到1872年的3月，时光穿越了十多个年头，才让戴德金下定一半的决心。
标题（二）下定了一半的决心
1872年的3月，戴德金收到Heine写的一本书《函数论基础》，这本书刚刚发表在一个名为Crelle’s journal的学术杂志第74卷上。Heine的著作触动了戴德金，但似乎对于低调的戴德金只有一半的触动，因为戴德金从Heine著作的触动中，只下定一半的决心去选择把这个主题继续做下去。如戴德金对heine著作的评论所言：heine著作的
主要部分，我完全和这本书的材料一致，的确，我几乎不能再做其它的什么，但我坦率承认，我的表述在形式上似乎更简洁，关键点部分也更清楚突出。
这大概鼓舞了戴德金，把他从低调的沉默中解脱出来，决心让其著作见置于世。于是，戴德金开始了他多年前著作前言的撰写。
标题（三）在写该书前言之时，戴德金收到集合论创立者康托尔的来信
当戴德金写这个前言的时候，恰好收到康托尔发给他的一篇有趣的论文，他衷心感谢这位天才的作者。而在匆忙地阅读中，戴德金还发现，康托尔论文中节2给出的公理，其表述的形式和他在节3的表述是相一致的。这个一致的东西，大概就是后来集论中著名的戴德金-康托尔公理。但是，戴德金依然低调而且疑惑重重，他在前言的最后一段话表达的就是这种疑惑。
一个更高类型的实数纯粹抽象定义，能带来什么好处呢？我大概和你一样，还看不到有什么好处，我只是在构想，像我做的那样，把实数范围本身看作为完全的。
算术系统的完全性，后来逻辑系统的完全性，是不是从这个实数的完全性而来？看到这一段，我立刻就联想到这一点。但也就是一个联想而已，到底是否如此，还待我们慢慢地阅读、思考、再阅读、再思考。