【训练题22：线性求逆元】【模板】乘法逆元 | 洛谷 P3811

【模板】乘法逆元

难度

$普及/提高$
板子题，给出两种方法

题意

给 $n,p$
求出所有 $i\in [1,n]$在模 $p$ 情况下的逆元 $i^{-1}$

一个一个求肯定是 $O(N\log N)$，容易超。这里给出的两种都为 $O(N)$的。

数据范围

$n\le 3\times 10^6$
$n<p<20000528$ 且 $p$ 是质数

方法1：阶乘逆元法

• 我们可以 $O(N)$ 预处理出所有 $(i!{)}^{-1}$，方法如下：
  • 首先算出 $n!$ ，可以直接递推获得。
  • 再算出 $(n!{)}^{-1}$，使用费马小定理即可，即 $(n!{)}^{-1}\equiv (n!{)}^{p-2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
  • 接下来，递推 $(i!{)}^{-1}=((i+1)\times (i+1){!}^{-1})\%p$ 即可。
• 计算 $(i{)}^{-1}=(i!{)}^{-1}\times (i-1)!\%p$ 即可。

方法2：线性求逆元

• 我们求模 $p$ 下 $i$ 的逆元，我们使用带余除法写出表达式子：
• $p=i\times k+r$，其中 $0<r<i$
• 其中 $k=\frac{p}{i}$为商，$r=p\%i$为余数。
• 接下来我们写出同余等式的表达式子：
• $i\times k+r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
• 两边同时除以 $r\times i$，是为了得到 $i^{-1}$这一项在单独的一边。我们得到：
• $r^{-1}\times k+i^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 移项可得：
• $i^{-1}\equiv -r^{-1}\times k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 我们把 $r$ 和 $k$ 带入可得：
• $i^{-1}\equiv -(p\%i{)}^{-1}\times \frac{p}{i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
  接下来写成代码即可。
  注意一下，由于里面有负号，取模意义下不会出现负号，负数取模完加上模数再取模即可。

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 3e6+50;
const ll  MOD = 19260817;
ll Inv[MAX];
int main()
{
    
    
    int n,p;
    scanf("%d%d",&n,&p);
    Inv[1] = 1;
    puts("1");
    for(int i = 2;i <= n;++i){
    
    
        Inv[i]=(p-(p/i)*Inv[p%i]%p)%p;
        printf("%lld\n",Inv[i]);
    }
    return 0;
}