【NOIP2015提高组Day2】子串

题面

Description

Input

Output

Sample Input

输入1：

6 3 1
aabaab
aab

输入2：

6 3 2
aabaab
aab

输入3：

6 3 3
aabaab
aab

Sample Output

输出1：

2

输出2：

7

输出3：

7

Data Constraint

思路

这道题我们可以考虑用$DP$来做。
设$f_{i,j,k,0}$表示a序列枚举到i位置，b序列枚举到j位置，选了k个子串，当前不选，则$f_{i,j,k,1}$表示选。

---

接着我们可以分两种情况讨论：

1. $a_i!=b_j$
   当前转移方程即为：
   $f_{i,j,k,1}=0$
   $f_{i,j,k,0}=f_{i-1,j,k,0}+f_{i-1,j,k,1}$

2. $a_i=b_j$
   当前转移方程即为：
   $f_{i,j,k,0}=f_{i-1,j,k,0}+f_{i-1,j,k,1}$
   当前选的情况又可以分为三种情况讨论：
   $1)$ .前面有子串，不用新增
   $f_{i-1,j-1,k,1}$
   $2)$ .前面有子串，但新增一子串
   $f_{i-1,j-1,k-1,1}$
   $3)$ .前面一个无子串，新增一子串
   $f_{i-1,j-1,k-1,0}$
   将上述方案加起来即为$f_{i,j,k,1}$的转移式了。

---

答案：$f_{n,m,k,0}+f_{n,m,k,1}$
初始化：$f_{0,0,0,0}=f_{1,0,0,0}=1$

---

然而我们会发现如果这样做的话，我们就会

于是我们可以考虑开一个滚动数组，因为第$i$位只用考虑第$i-1$位的数，所以我们只需要将$i$位置开2位。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,m,s,len,len1,ans;
char a[1005],b[205];
long long f[2][205][205][2];
int main()
{
    
    
	freopen("substring.in","r",stdin);
	freopen("substring.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	scanf("%s",a+1);
	scanf("%s",b+1);
	f[0][0][0][0]=f[1][0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			for(int k=1;k<=s;k++)
			{
    
    
				if(a[i]!=b[j])
				{
    
    
					f[i%2][j][k][1]=0;
					f[i%2][j][k][0]=(f[(i-1)%2][j][k][0]+f[(i-1)%2][j][k][1])%mod;
				}
				else
				{
    
    
					f[i%2][j][k][0]=(f[(i-1)%2][j][k][0]+f[(i-1)%2][j][k][1])%mod;
					f[i%2][j][k][1]=(f[(i-1)%2][j-1][k][1]+f[(i-1)%2][j-1][k-1][0]+f[(i-1)%2][j-1][k-1][1])%mod;
				}
			}
	printf("%lld",(f[n%2][m][s][0]+f[n%2][m][s][1])%mod);
}