【动态规划】48题-最长不含重复字符的子字符串

1 题目描述

请从字符串中找出一个最长的不包含重复字符的子字符串，计算该最长子字符串的长度。

示例1：

输入: "abcabcbb"
输出: 3 
解释: 因为无重复字符的最长子串是 "abc"，所以其长度为 3。

示例2：

输入: "bbbbb"
输出: 1
解释: 因为无重复字符的最长子串是 "b"，所以其长度为 1。

示例3：

输入: "pwwkew"
输出: 3
解释: 因为无重复字符的最长子串是 "wke"，所以其长度为 3。
     请注意，你的答案必须是 子串 的长度，"pwke" 是一个子序列，不是子串。

提示

s.length <= 40000

2 解题思路

长度为N的字符串共有$\frac{(1+N)N}{2}$个子字符串（复杂度为$O(N^2)$），判断长度为N的字符串是否有重复字符的复杂度为O(N)，因此本题使用暴力法解决的复杂度为$O(N^3)$。考虑使用动态规划降低时间复杂度。

动态规划解析：

• 状态定义：设动态规划列表dp，dp[j]代表以字符s[j]为结尾的“最长不重复子字符串”的长度。
• 转移方程：固定右边界j，设字符s[j]左边距离最近的相同字符为s[i]，即s[i]=s[j]。
  1. 当$i<0$，即s[j]左边无相同字符，则dp[j]=dp[j-1]+1；
  2. 当$dp[j-1]<j-i$，说明字符s[i]在子字符串dp[j-1]区间之外，则$dp[j]=dp[j-1]+1$；
  3. 当$dp[j-1]\ge j-i$，说明字符s[i]在子字符串dp[j-1]区间之中，则dp[j]的左边界由s[i]决定，即$dp[j]=j-i$；

当$i<0$时，由于$dp[j-1]\le j$恒成立，因此分支1.和2.可被合并。

$$dp[j]=\{\begin{array}{lcl}dp[j-1]+1& & dp[j-1]<j-i\\ j-i& & dp[j-1]\ge j-i\end{array}$$

• 返回值：max(dp)，即全局的“最长不重复子字符串”的长度。

空间复杂度优化：

• 由于返回值是取 dp 列表最大值，因此可借助变量 tmp 存储 dp[j] ，变量 res 每轮更新最大值即可。
• 此优化可节省 dp 列表使用的 O(N) 大小的额外空间。

动态规划+哈希表

• 哈希表统计：遍历字符串s时，使用哈希表（记为dic）统计各字符最后一次出现的索引位置。
• 左边界i获取方式：遍历到s[j]时，可通过访问哈希表dic[s[j]]获取最近的相同字符的索引i。

java的getOrDefault(key,default)，代表当哈希表包含键key时返回对应value，不包含时返回默认值default。

class Solution {
    
    
    public int lengthOfLongestSubstring(String s) {
    
    
        Map<Character,Integer> dic = new HashMap<>();
        int tmp = 0;
        int res = 0;
        for (int j = 0;j < s.length();j++) {
    
    
            int i = dic.getOrDefault(s.charAt(j),-1);
            dic.put(s.charAt(j),j);
            tmp = tmp < j - i ? tmp + 1 : j - i;
            res = Math.max(res,tmp);
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N) ： 其中 N 为字符串长度，动态规划需遍历计算 dp 列表。
• 空间复杂度 O(1) ： 字符的 ASCII 码范围为 0 ~ 127 ，哈希表 dic 最多使用 O(128)=O(1) 大小的额外空间。