【ACWing】1010. 拦截导弹

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/1012/

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于$30000$的正整数，导弹数不超过$1000$），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式：
共一行，输入导弹依次飞来的高度。

输出格式：
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

数据范围：
雷达给出的高度数据是不大于$30000$的正整数，导弹数不超过$1000$

最多能拦截的导弹数其实就是求最长非严格下降子序列。而要拦截所有导弹，其实就是问导弹的高度序列最少能拆分为多少个非严格下降子序列，这个问题实际上是反链分解定理的应用（参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/108616895），定理是：偏序集最少的反链分解的个数等于其最长链的长度。在这题里，其实就是，非严格下降子序列的最少分解个数，等于其最长严格上升子序列的长度。有一个时间复杂度$O(n\log n)$的反链分解的算法，大致做法是，用一个数组$f$维护所有反链的最后一个数（每个反链是非严格下降的序列），然后来一个新数$x$的时候，找到$f$中最小的大于等于$x$的那个数，用$x$替换之；如果不存在这样的数，就新开一个反链，即$x$自成一个反链。由数学归纳法可以证明$f$是单调上升的，所以可以用二分来做。算法正确性证明的话，可以考虑最优解和上述做法的第一个不同的操作，将最优解里$x$及其后的数形成的序列，和上述解里$x$及其后的数形成的序列进行交换，交换后仍然是最优解（因为反链个数没变），所以最优解可以经过若干次调整变成上述解，也就证明了上述解就是反链分解的最小划分。求最长非严格下降子序列可以用动态规划做（当然也可以用反链分解来做，答案就是严格上升子序列的最少分解个数）。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int a[N];
int f[N];
int n;

int main() {
    
    
    while (cin >> a[n]) {
    
    
        n++;
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
        f[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (a[i] <= a[j])
                f[i] = max(f[i], 1 + f[j]);
        res = max(res, f[i]);
    }

    cout << res << endl;

    int idx = 1;
    f[0] = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
    
    
    	// f是单调增的，用二分找到第一个大于等于a[i]的数的下标，找不到就新开一个反链
        int l = 0, r = idx - 1;
        while (l < r) {
    
    
            int m = l + (r - l >> 1);
            if (f[m] > a[i]) r = m;
            else l = m + 1;
        }

        if (f[l] >= a[i]) f[l] = a[i];
        else f[idx++] = a[i];
    }

    cout << idx << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(n^2)$，$n$是导弹个数，空间$O(n)$。