牛客练习赛73 C.生涯回忆录（所有子集的Mex的和，组合数学）

题意：

解法：

问题显然为求所有子集的Mex的和.
O(n)枚举Mex,设当前Mex为i,
那么所有<i的数每个至少都要选一个:
比如i-1有cnt[i-1]个,至少选一个的方案数为2^(cnt[i-1])-1.

<i的数每个都至少选一个的方案数可以维护一个前缀积last.
=i的数不能选,
>i的数可选可不选,设>i的数有suf个,那么方案数为2^suf.
Mex=i的方案数=上面方案数的乘积,
Mex=i的贡献=方案数*i.

累加每个Mex的贡献就是答案.

code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxm=2e6+5;
const int mod=20000311;
int cnt[maxm];
int a[maxm];
int n;
int ppow(int a,int b,int mod){
    
    
    int ans=1%mod;a%=mod;
    while(b){
    
    
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    
    
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        cin>>a[i];
        if(a[i]<=5e5)cnt[a[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<=5e5;i++){
    
    
        cnt[i]+=cnt[i-1];
    }
    int last=1;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=5e5;i++){
    
    //枚举Mex
        int suf=n-cnt[i];//>i的数的个数
        int p1=ppow(2,suf,mod);//后面的数可以选或不选
        ans+=last*p1%mod*i%mod;
        ans%=mod;
        if(!cnt[i])break;
        int p2=(ppow(2,cnt[i]-cnt[i-1],mod)-1+mod)%mod;//i至少选一个
        last=last*p2%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

---