****离散证明题（四）（关系的复合与格的最小上边界和最大下边界）
13.证明：若集合A上的一个二元关系R是对称的，则对于任意的n≥1，Rⁿ也是对称的。
proof：
①当n=1时，由题意可知二元关系R是对称的
②假设当n=k时结论成立，那么就有Rᵏ是对称的
假设a,b∈A，如果(a,b)∈Rᵏ⁺¹，那么就存在c∈A使得(a,c)∈Rᵏ,(c,b)∈R
由R和Rᵏ是对称的可知(b,c)∈R,(c,a)∈Rᵏ,再由关系的复合可以得出(b,a)∈Rᵏ⁺¹
因此Rᵏ⁺¹是对称的
综上所述：若R是对称的，那么对于任意的n≥1，Rⁿ也是对称的结论成立。
（此题用数学归纳法，原题在书上147叶35题，答案在491页33题的答案，相关知识涉及到关系的复合composition）
14.令L是一个格，对于L中的任意两个元素a和b
证明：（1）a∨b=b<=>a≤b （2）a∧b=b<=>b≤a
proof:
(1)
①证明如果a∨b=b，那么a≤b
因为a∨b是a,b的最小上边界，所以a≤a∨b，又a∨b=b，所以a≤b .
②证明如果a≤b ，那么a∨b=b
因为a≤b，又有b≤b，可以得知b是a和b的上边界，又a∨b是a和b的最小上边界，所以a∨b≤b；由a∨b是a和b的最小上边界可知b≤a∨b，所以a∨b=b
(2)
①证明如果a∧b=b，那么b≤a
因为a∧b是a,b的最大下边界，所以a∧b≤a，又a∧b=b，所以b≤a .
②证明如果b≤a ，那么a∧b=b
因为b≤a，又有b≤b，可以得知b是a和b的下边界，又a∧b是a和b的最大下边界，所以b≤a∧b；由a∧b是a和b的最大下边界可知a∧b≤b，所以a∧b=b.