二元关系的复合、集合幂集的包含关系是格的证明、逻辑相等与划分

离散证明题## 标题
5.令R为从A到B的一个二元关系，S为从B到C的二元关系，若D是A的一个子集，证明：(S◦R)D=S(R(D))
If an element z∈C is in(S○R)(D),then x (S○R)z for some x in D .By the definition of composition,this means that x R y and y S z for some y in B. Thus y∈R(x)，so z∈S(R(x)). Since {x}⊆D，that S(R(x))⊆S(R(D)).Hence z∈S(R(D)),so (S○R)(D）⊆S(R(D)).
Comversely,suppose that z∈S(R(D)). Then z∈S(y)for some y in R(D)and,similarly, y∈R(x) for some x in D . This means that x R y and y S z, so x(S○R)z. Thus z∈(S○R)(D)，so S(R(D))⊆(S○R)(D). This proves the theorem.
6.请用真值表验证(p⇒q)和(～q⇒～p)逻辑相等.
proof:

注：当(p⇒q)＜=＞(～q⇒～p)是永真式，也即重言式tautology时，我们说它们是逻辑相等logically equivalent
7.证明(P(X),⊆)是格，其中P(X)是集合X的幂集.
proof:
①设A∈P(X)，因为A⊆A恒成立，所以⊆满足自反性reflexive.
②设A,B∈P(X)，如果A⊆B且B⊆A，则A=B,所以⊆满足反对称性antisymmetric.
③设A,B,C∈P(X),如果A⊆B且B⊆C,，则A⊆C,所以⊆满足传递性transitive.（至此可以说明⊆是一个偏序关系，(P(X),⊆)是一个偏序集）
④设A,B属于偏序集(P(X),⊆)，因为A⊆A∪B,B⊆A∪B，如果A⊆C,B⊆C,那么A∪B⊆C，所以A∪B是最小上边界.
⑤设A,B属于偏序集(P(X),⊆)，因为A∩B⊆A,A∩B⊆B，如果C⊆A,C⊆B,那么C⊆A∩B，所以A∩B是最大下边界.
注：要证明(P(X),⊆)是一个格，首先要证明(P(X),⊆)是一个偏序集poset，再证明(P(X),⊆)中任意两个子集都有最小上边界least upper bound和最大下边界greatest lower bound
关于A,B两个集合的最小上边界和最大下边界问题,画个示意图来更直观地了解为什么A∪B是最小上边界,A∩B是最大下边界

如图所示，集合A∪B与C都是A,B的上边界，而A∪B是A,B的最小上边界

如图，A∩B与空集都是A,B的下边界，而A∩B是A,B的最大下边界
8.设π={Aᵢ：i∈I}是集合A上的一个划分,证明：对于任意集合B，所有Aᵢ∩B≠Φ的Aᵢ∩B组成的集合是A∩B的划分。
proof；
因为Aᵢ⊆A,所以Aᵢ∩B⊆A∩B
又(A₁∩B)∪(A₂∩B)∪(A₃∩B)∪…∪(Aᵢ∩B)=(A₁∪A₂∪A₃∪…∪Aᵢ)∩B=A∩B
注：此时只能说明所有Aᵢ∩B≠Φ的Aᵢ∩B组成的集合是A∩B的覆盖，要说明是划分，需要对任意i,j∈l都有（Aᵢ∩B）∩（Aⱼ∩B）=（Aᵢ∩Aⱼ）∩B=Ø∩B=Ø