一、图的基本介绍

为什么要有图

前面我们学了线性表和树
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
树也只能有一个直接前驱也就是父节点
当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图。

图的举例说明：

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。

在这里插入图片描述

二、图的表示方法

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵：邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1…n 个点

在这里插入图片描述

邻接表：

邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
举例说明

在这里插入图片描述

三、图的深度优先遍历（DFS）

深度优先遍历的思想：

深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
分析图

深度优先遍历算法的核心代码

//进行深度优先遍历
    private void dfs(boolean[] isVisited,int i)
    {
    
    
        //首先先访问该结点并输出
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //其次将结点设置为已经访问
        isVisited[i]=true;
        //查找结点i的第一个邻接节点
        int w=getFirstNeighbor(i);

        //当w!=-1时，表示有邻接节点
        while (w!=-1)
        {
    
    
            //如果该节点被没有访问过
            if (!isVisited[w])
            {
    
    
                dfs(isVisited,w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w=getNextNeighbor(i,w);
        }
    }

    //对dfs进行一个重载，遍历我们所有的结点，并进行dfs
    public void dfs()
    {
    
    
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[相当于回溯]
        for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++)
        {
    
    
            if (!isVisited[i])
            {
    
    
                dfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

四、图的广度优先遍历算法（BFS）

基本思想：

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
结点 v 入队列
当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
出队列，取得队头结点 u。
查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：

6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。

6.2 结点 w 入队列 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

核心代码：

//对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited,int i)
    {
    
    
        int u;//表示队列的头结点对应下标
        int w;//邻接节点w

        //队列，记录访问的顺序
        LinkedList quene=new LinkedList();

        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //标志结点已访问
        isVisited[i]=true;
        //将结点加入队列
        quene.addLast(i);

        while (!quene.isEmpty())
        {
    
    
            //取出队列的头结点下标
            u=(Integer) quene.removeFirst();
            //得到第一个邻接节点的下标
            w=getFirstNeighbor(u);
            while (w!=-1)
            {
    
    
                //如果没有被访问
                if (!isVisited[w])
                {
    
    
                    //System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w]=true;
                    //入队
                    quene.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个结点
                w=getNextNeighbor(u,w);
            }
        }
    }

    //遍历所有结点，都进行广度优先遍历搜索
    public void bfs()
    {
    
    
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++)
        {
    
    
            bfs(isVisited,i);
        }
    }

五、图的整体代码实现

package cn.zzw.algorithm.graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {
    
    

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的数目
    private boolean[] isVisited;

    public static void main(String[] args) {
    
    

        int n=8;//结点的个数
        String Vertexs[] = {
    
    "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};

        //创建图对象
        Graph graph= new Graph(n);
        //循环的添加结点
        for (String vertex: Vertexs)
        {
    
    
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        //更新边的关系
        graph.insertEdge(0,1,1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);

        //显示邻接矩阵
        graph.showGraph();

        //System.out.println("深度优先遍历");
        //graph.dfs();

        System.out.println("广度优先遍历");
        graph.bfs();

    }

    public Graph(int n)
    {
    
    
        //初始化矩阵和vertexList
        edges=new int[n][n];
        vertexList=new ArrayList<>(n);
        numOfEdges=0;
    }

    //得到第一个邻接节点的下标w
    public int getFirstNeighbor(int index)
    {
    
    
        for (int j=0;j<vertexList.size();j++)
        {
    
    
            if (edges[index][j]>0)
            {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2)
    {
    
    
        for (int j=v2+1;j<vertexList.size();j++)
        {
    
    
            if (edges[v1][j]>0)
            {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //图中常用的方法
    //1.返回结点的个数
    public int getNumOfVertex()
    {
    
    
        return vertexList.size();
    }

    //对应边的数目
    public int getNumOfEdges()
    {
    
    
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i(下标)对应的数据
    public String getValueByIndex(int i)
    {
    
    
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1,int v2)
    {
    
    
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex)
    {
    
    
        vertexList.add(vertex);
    }

    //添加边
    public void insertEdge(int v1,int v2,int weight)
    {
    
    
        edges[v1][v2]=weight;
        edges[v2][v1]=weight;
        numOfEdges++;
    }

    //显示对应的矩阵
    public void showGraph()
    {
    
    
        for (int[] link:edges)
        {
    
    
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //进行深度优先遍历
    private void dfs(boolean[] isVisited,int i)
    {
    
    
        //首先先访问该结点并输出
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //其次将结点设置为已经访问
        isVisited[i]=true;
        //查找结点i的第一个邻接节点
        int w=getFirstNeighbor(i);

        //当w!=-1时，表示有邻接节点
        while (w!=-1)
        {
    
    
            //如果该节点被没有访问过
            if (!isVisited[w])
            {
    
    
                dfs(isVisited,w);
            }
            //如果w结点已经被访问过
            w=getNextNeighbor(i,w);
        }
    }

    //对dfs进行一个重载，遍历我们所有的结点，并进行dfs
    public void dfs()
    {
    
    
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行dfs[相当于回溯]
        for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++)
        {
    
    
            if (!isVisited[i])
            {
    
    
                dfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited,int i)
    {
    
    
        int u;//表示队列的头结点对应下标
        int w;//邻接节点w

        //队列，记录访问的顺序
        LinkedList quene=new LinkedList();

        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //标志结点已访问
        isVisited[i]=true;
        //将结点加入队列
        quene.addLast(i);

        while (!quene.isEmpty())
        {
    
    
            //取出队列的头结点下标
            u=(Integer) quene.removeFirst();
            //得到第一个邻接节点的下标
            w=getFirstNeighbor(u);
            while (w!=-1)
            {
    
    
                //如果没有被访问
                if (!isVisited[w])
                {
    
    
                    //System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w]=true;
                    //入队
                    quene.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个结点
                w=getNextNeighbor(u,w);
            }
        }
    }

    //遍历所有结点，都进行广度优先遍历搜索
    public void bfs()
    {
    
    
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i=0;i<getNumOfVertex();i++)
        {
    
    
            bfs(isVisited,i);
        }
    }

}

测试结果：

"C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\bin\java.exe" "-javaagent:D:\IntelliJ IDEA\IntelliJ IDEA 2019.3.3\lib\idea_rt.jar=10452:D:\IntelliJ IDEA\IntelliJ IDEA 2019.3.3\bin" -Dfile.encoding=UTF-8 -classpath "C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\charsets.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\deploy.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\access-bridge-64.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\cldrdata.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\dnsns.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\jaccess.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\jfxrt.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\localedata.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\nashorn.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunec.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunjce_provider.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunmscapi.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\sunpkcs11.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\ext\zipfs.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\javaws.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jce.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jfr.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jfxswt.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\jsse.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\management-agent.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\plugin.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\resources.jar;C:\Program Files\Java\jdk1.8.0_181\jre\lib\rt.jar;C:\Users\1\IdeaProjects\algorithm\out\production\algorithm" cn.zzw.algorithm.graph.Graph
[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
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[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0]
广度优先遍历
1->2->3->4->5->6->7->8->
Process finished with exit code 0

三十二、图的创建&&深度优先遍历（DFS）&&广度优先遍历（BFS）

一、图的基本介绍

二、图的表示方法

三、图的深度优先遍历（DFS）

四、图的广度优先遍历算法（BFS）

五、图的整体代码实现

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