华中科技大学829自动控制原理真题及分析样例

华中科技大学829自动控制原理真题分析系列博文是对华中科技大学829自动控制原理真题的详细剖析，详细讲解每一道题涉及的知识点、解题方法、不同的解答过程，即使是两道题涉及的知识点相似，我依然会将涉及到知识点写完整，原因是：考研的时间很宝贵，减少小伙伴往回翻知识点的时间；重复写知识点，小伙伴们反复看知识点，有利于小伙伴加强记忆，将知识点深深印在脑中。下面将为大家呈上几道剖析样题，大家有需要的话可以关注该系列博文，因为平时有工作，因此博文更新较慢，我争取尽快更新博文，当然，我会以高质量给大家更新博文。

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1. $典型二阶系统的超调量为($ $)。$
   $A.e^{\frac{-\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}$    $B.e^{\frac{\xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}$    $C.e^{\frac{\xi }{\pi \sqrt{1-{\xi }^2}}}$      $D.e^{\frac{\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}$
   解： $答案为A$。
   相关知识点：
   $$\begin{array}{rl}& 最大超调量：\sigma \%=\frac{c(t_p)-c(\infty )}{c(\infty )}=e^{-\frac{\pi \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}\times 100\%；其中t_p为峰值时间；\\ & 上升时间：t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}}；\\ & 峰值时间：t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=\frac{\pi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}}；\\ & 调节时间：t_s=\frac{3.5}{\xi {\omega }_n}=\frac{3.5}{\sigma }，(误差带：\Delta =0.05)；t_s=\frac{4.4}{\xi {\omega }_n}=\frac{4.4}{\sigma }，(误差带：\Delta =0.02)；\end{array}$$

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2. $已知零初始条件下，系统的阶跃响应为c(t)=1+\frac{1}{3}{e}^{-4t}-\frac{4}{3}{e}^{-t}，求系统的传递函数。$
   解：
   $输出响应的拉氏变换：$
   $$C(s)=L[c(t)]=\frac{1}{s}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{s+4}-\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s+1}=\frac{4}{s(s+1)(s+4)}$$
   $阶跃输入R(s)=\frac{1}{s}，因此，系统的传递函数为：$
   $$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{4}{(s+1)(s+4)}$$
   相关知识点：
   (1) $典型输入：$
   
   (2) $常用的拉氏变换：$
   
   解题框架：
   a.$根据题设给出的输出响应c(t)，对输出响应进行拉氏变换，即C(s)=L[c(t)]；$
   b.$根据题设给出的输入r(t)，对输入进行拉氏变换，即R(s)=L[r(t)]；$
   c.$根据\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}，求得传递函数。$

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3. $已知$
   $$G(s)=\frac{K(s+2)}{s^2+2s+2}$$
   (1) $画出根轨迹；$
   (2) $问K取何值时，系统处于过阻尼和欠阻尼状态。$
   解：
   (1)
   ① $$\begin{gathered} 分支数、起止点。 \\ 因n=2，m=1，n-m=1，因此，分支数为2。 \\ 起始于：p_1=-1+j；p_2=-1-j；终止于：z_1=-2和无穷远处； \end{gathered}$$
   ② $$\begin{gathered} 在实轴上的根轨迹。 \\ 根轨迹在实轴上的范围为：(-\infty ,-2]； \end{gathered}$$
   ③ $$\begin{gathered} 分离点。 \\ 分离点满足如下条件： \end{gathered}$$
   $$\frac{1}{d+1+j}+\frac{1}{d+1-j}=\frac{1}{d+2}$$
   $解得：d_1=-2-\sqrt{2}，d_2=-2+\sqrt{2}(舍去)，故d=-2-\sqrt{2}。$
   $根据上述条件，可绘制根轨迹如下：$
   
   (2)
   $由模值条件可知，根轨迹与实轴交点处(交点为(-2-\sqrt{2},j0))的K_1值：$
   $$\begin{array}{rl}{K}_1& =\frac{|(-2-\sqrt{2})-(-1-j)|\cdot |(-2-\sqrt{2})-(-1+j)|}{|(-2-\sqrt{2})-(-2)|}\\ & =\frac{|-1-\sqrt{2}+j|\cdot |-1-\sqrt{2}-j|}{|-\sqrt{2}|}\\ & =\frac{\sqrt{(-1-\sqrt{2}{)}^2+1^2}\cdot \sqrt{(-1-\sqrt{2}{)}^2+1^2}}{(\sqrt{\sqrt{2}}{)}^2}\\ & =\frac{(1+\sqrt{2}{)}^2+1}{\sqrt{2}}\\ & =2(\sqrt{2}+1)\end{array}$$
   $$\begin{gathered} 因此， \\ 当0<K<K_1时，系统处于欠阻尼状态； \\ 当K=K_1时，系统处于临界阻尼状态； \\ 当K>K_1时，系统处于过阻尼状态。 \end{gathered}$$
   相关知识点：
   (1) $常规根轨迹绘制法则：$
   
   (2) $不同位置根轨迹代表的状态：$
   
   0 < K < K 1 时 ， 系 统 处 于 过 阻 尼 状 态 ， 系 统 单 位 阶 跃 响 应 无 超 调 ， 呈 单 调 上 升 形 式 ； K = K 1 时 ， 系 统 处 于 临 界 阻 尼 状 态 ， 系 统 单 位 阶 跃 响 应 无 超 调 ， 呈 单 调 上 升 形 式 ； K 1 < K < K 2 时 ， 系 统 处 于 欠 阻 尼 状 态 ， 系 统 单 位 阶 跃 响 应 有 超 调 ， 呈 振 荡 形 式 ； K = K 2 时 ， 系 统 处 于 无 阻 尼 状 态 ， 系 统 单 位 阶 跃 响 应 临 界 稳 定 ， 呈 等 幅 振 荡 形 式 ； K > K 2 时 ， 系 统 单 位 阶 跃 响 应 不 稳 定 ， 呈 发 散 形 式 。 \begin{aligned} &0<K<K_1时，系统处于过阻尼状态，系统单位阶跃响应无超调，呈单调上升形式；\\ &K=K_1时，系统处于临界阻尼状态，系统单位阶跃响应无超调，呈单调上升形式；\\ &K_1<K<K_2时，系统处于欠阻尼状态，系统单位阶跃响应有超调，呈振荡形式；\\ &K=K_2时，系统处于无阻尼状态，系统单位阶跃响应临界稳定，呈等幅振荡形式；\\ &K>K_2时，系统单位阶跃响应不稳定，呈发散形式。 \end{aligned} ​0<K<K1​时，系统处于过阻尼状态，系统单位阶跃响应无超调，呈单调上升形式；K=K1​时，系统处于临界阻尼状态，系统单位阶跃响应无超调，呈单调上升形式；K1​<K<K2​时，系统处于欠阻尼状态，系统单位阶跃响应有超调，呈振荡形式；K=K2​时，系统处于无阻尼状态，系统单位阶跃响应临界稳定，呈等幅振荡形式；K>K2​时，系统单位阶跃响应不稳定，呈发散形式。​
   (3) $相角条件和模值条件：$
   $根轨迹可以由如下两个方程描述，第一个方程称为相角条件，第二个方程称为模值条件。$
   $$\sum _{j=1}^m\angle (s-z_j)-\sum _{i=1}^n\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi (k=0，\pm 1，\pm 2，\dots )$$
   $$K^{\ast }=\frac{{\prod }_{i=1}^n|s-p_i|}{{\prod }_{j=1}^m|s-z_j|}$$
   $其中：相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，模值条件用于确定根轨迹上各点的K^{\ast }值。$
   解题框架：
   a.$根据题设给出的开环传递函数，化为根轨迹标准形式(首Ⅰ型)；$
   $$K^{\ast }\frac{{\prod }_{j=1}^m(s-z_j)}{{\prod }_{i=1}^n(s-p_i)}$$
   b.$根据特征方程：D(s)=1+G(s)H(s)=0，判断所求根轨迹类型(180°根轨迹、0°根轨迹、参数根轨迹)；$
   c.$根据根轨迹绘制法则，绘制根轨迹；$
   c.1 根轨迹绘制常用步骤(考试重点)：
   ① $$\begin{gathered} 分支数、起止点。 \\ 因n=～，m=～，n-m=～，因此，分支数为～。 \\ 起始于(极点)：p_1=～；p_2=～；终止于(零点)：z_1=～和无穷远处； \end{gathered}$$
   ② $$\begin{gathered} 在实轴上的根轨迹。 \\ 根轨迹在实轴上的范围为：～； \end{gathered}$$
   ③ $$\begin{gathered} 渐近线。 \\ 渐近线满足如下条件： \end{gathered}$$
   $$\begin{array}{rl}& 渐近线与实轴交点：{\sigma }_a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i-{\sum }_{j=1}^m{z}_j}{n-m}\\ & 渐近线与实轴夹角：{\varphi }_a=\frac{(2k+1)\pi }{n-m}(k=0,1,\dots \dots ,n-m-1)\end{array}$$
   ④ $$\begin{gathered} 分离点。 \\ 分离点满足如下条件： \end{gathered}$$
   $$\begin{array}{rl}& 分离点：\sum _{j=1}^m\frac{1}{d-z_j}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{d-p_i}；\\ & 分离角：\frac{(2k+1)\pi }{l}\end{array}$$
   d.$根据根轨迹进行定量定性分析。$
   注：根轨迹绘制法则可参考链接: 自动控制–控制系统根轨迹篇.在控制系统根轨迹篇详细介绍了180°根轨迹和0°根轨迹的绘制法则，并且具有例题进行说明。

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接下来的829系列博客将采用以上风格来更新，如果觉得对自己考研复习有帮助的小伙伴可以继续学习该系列博客。(当然，会收取一定的费用，但是不会很高。)