动力学基础

动力学基础

研究点的运动常用方法

矢量法、直角坐标法、自然坐标法

质点运动的几个定义

定系(定参考系)：一般取与地面或基座固连的参考系
动系(动参考系)：相对定系运动的参考系

动点:研究的点(要相对定系、动系都有运动的点)
瞬时重合点：某瞬时动点与动系重合的点。瞬时重合点位于与动系固连的刚体上

绝对运动：动点相对定系的运动
相对运动：动点相对动系的运动
牵连运动：动系相对定系的运动

绝对速度、绝对加速度、相对速度、相对加速度类比绝对运动和相对运动。但是注意牵连速度是瞬时重合点相对定系的速度。

速度合成定理
绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度
${\vec{v}}_a={\vec{v}}_r+{\vec{v}}_e$

加速度合成定理
绝对加速度 = 相对加速度 + 牵连加速度 + 科氏加速度
${\vec{a}}_a={\vec{a}}_r+{\vec{a}}_e+{\vec{a}}_c$
${\vec{a}}_c=2\omega \times {\vec{v}}_r$，这里$\omega$是动系加速度(牵连加速度)，动系如果是平移，则不会有科氏加速度

动点与动系的选取
1）动点与动系不能选在同一刚体，应该有相对运动
2）动点的相对运动应该易于确定，最好是已知的直线

质点运动微分方程结具的问题
1）已知点的运动情况，求质点上的力
2）已知质点上的力，求运动情况

质点的相对运动微分方程

$m{\vec{a}}_r=\Sigma \vec{F}+{\vec{F}}_e+{\vec{F}}_c$
其中$F_e$为牵连惯性力，${\vec{F}}_e=-m{\vec{a}}_e$，$F_c$为科氏惯性力，${\vec{F}}_c=-m{\vec{a}}_c$
有以下几种特殊情况，可对质点的相对运动微分方程进行化简
1）动系平动，$\omega =0,a_c=0,F_c=0,m{\vec{a}}_r=\Sigma \vec{F}+{\vec{F}}_e$
2）无相对运动，$a_r=0,v_r=0,{\vec{F}}_c=0,\Sigma \vec{F}+{\vec{F}}_e=0$
3）相对运动是匀速直线运动，$a_r=0,\Sigma \vec{F}+{\vec{F}}_e+{\vec{F}}_c=0$
4）牵连运动是匀速直线运动，$a_e=0,w=0,{\vec{F}}_e,{\vec{F}}_c=0,m{\vec{a}}_r=\Sigma \vec{F}$

刚体的平面运动

运动分解：刚体的平面运动可分为随基点的平动+绕基点的转动
自由度：3，分别是$x,y,\varphi$
刚体角速度和角加速度与基点选取是否有关？
无关，平面图形绕不同基点转动，相差一个角度常量，角速度和角加速度是角度求导，求导后角度常量被消去了。

速度瞬心
平面图形角速度非零时，瞬时速度为0的点，称为速度瞬心(理解：就是一个平面图形转动时候，某个点在某个时刻是不动的，这个点可以看成其他点绕这个点做圆周运动，有点曲率圆心的意思)

加速度瞬心
平面图形角速度和角加速度不同时为零时，瞬时加速度为0的点，称为加速度瞬心

分析问题常用方法
1）基点法:${\vec{v}}_b={\vec{v}}_a+{\vec{v}}_{ba},{\vec{a}}_B={\vec{a}}_A+{\vec{a}}_{BA}^t+{\vec{a}}_{BA}^t$
2）速度投影法:刚体上任意两点的速度在它们两点连线上的速度相同(刚体不变形)
3）速度瞬心法

动力学普遍定理

动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理

一、动量定理
动量的变化率 = 作用在质点系上外力的矢量和
$\frac{dp}{dt}=\Sigma F_i^{(e)}$

积分形式称为冲量定理
$p_{t2}-p_{t1}=\Sigma {\int }_{t1}^{t2}{F}_i^{(e)}dt$

质心运动定理

$m{a}_c=\Sigma F_i^{(e)}$
其中，$m$是质点系总质量，$a_c$是质心加速度
若是，多个刚体组成的质点系则写成$\Sigma m_i{a}_{ci}=\Sigma F_i^{(e)}$

守恒情况
合外力为0时，动量守恒，水平或者竖直方向合外力为0时，该方向动量守恒。

二、动量矩定理

对点和轴的动量矩关系
质点系对O的动量矩在x轴的投影就是质点系对Ox轴的动量矩

动量矩定理
这个内容真多，等我考研复试结束后，一定把补上。。。

三、动能定理

动能：平动动能 + 转动动能
势能：在势力场中，质点由任意平面运动到零势能面，有实力所做的功称为质点在该位置的势能
有势力
做功仅有初始位置有关，保守力属于有势力，保守力的势能表达式中不显含时间

动能定理
微分描述：质点系动能的微分等于质点系上所有外力的元功和
积分描述：质点系动能的变化量等于质点系上所有外力所做的功之和

动力学普遍定理的应用
1）变质量质点的动力学方程
2）刚体定轴转动的动力学方程
3）刚体平面运动的动力学方程

碰撞

基本假设
1）碰撞力很大，可以忽略常规力
2）碰撞时，可以忽略物体位移
3）碰撞时，变形仅发生在碰撞区域

碰撞的分类
1）按恢复系数进行分类
完全弹性碰撞：e = 1
弹性碰撞：0<e<1
完全非弹性碰撞：e = 0

2）按几何或运动条件分类
对心碰撞(正碰撞)
偏心碰撞(斜碰撞)

冲量定理和冲量矩定理
冲量定理：碰撞前后质点系动量的该变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量的矢量和
冲量矩定理：碰撞前后质点系对固定点的动量矩改变量等于作用于质点系上外碰撞力冲量矩对固定点的矢量和

动静法

质点的达朗贝尔原理：在质点运动的每一瞬间，质点的惯性力$F_1$，主动力$F$与约束力$F_N$构成一组平衡力系，即$F_1+F+F_N=0$
质点系的达朗贝尔原理类比即可

惯性积与惯量主轴
惯性积：
惯量主轴：如果某轴相关的两个惯性积为0，则这个轴称为惯性主轴（如果还过质心，则称为中心惯量主轴），刚体上任意一点至少存在三根互相垂直的惯量主轴

静平衡
当定轴转动刚体仅在重力作用下，能够在任意位置平衡，称为静平衡。静平衡充要条件是：刚体质心在转轴上

动平衡
如果刚体在转动过程中不会引起轴承的附加反动力，则称刚体为动平衡。动平衡充要条件是：刚体转轴为中心惯量主轴
动平衡→静平衡（充分性）