DFT、DTFT、DFS的区别与联系

DFT、DTFT、DFS/DTFS的区别与联系

傅里叶变换可对离散序列进行变换，也可对连续信号进行变换。

傅里叶变换和傅里叶级数

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CTFT：$x(t)\to X(j\Omega )$
将连续信号从时域变换到频域，频域是连续的，以$\Omega (rad/s)$为坐标轴，画[0,2π]
计算机没法做这个变换，只能在数学上推导，或是采样一段连续信号成离散序列，用FFT将点数N取大一点来近似CTFT

DTFT(FT): $x(n)\to X(e^{j\omega })$
将离散序列从时域变换到频域，频域是连续的，以$\omega (rad)$为坐标轴，画[0,2π]
DTFT用的少，因为连续的频率数据计算机是处理不了的

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分为两组记忆比较方便，关于频率的坐标关系$f,\Omega ,\omega ,k$可参考物理频率，圆频率，数字频率之间的关系

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DFT：$x(n)\to X(k)$
将离散序列从时域变换到频域，频域是离散的，以$k$为坐标轴，画[0,N]
在用DFT函数(或者是快速傅里叶变换FFT)时，是要确定变换点数$N$的，一般取$2^n$，$k$的最大值为N，对应DTFT中的2π

%matlab程序
N = 512;
xn = [1 2 3 0 0 0];
Xk = fft(xn,N)

DFS/DTFS：$\tilde{x}(n)\to \tilde{X}(k)$
将无限长序列从时域变换到频域，频域是离散的，以$k$为坐标轴
如果$\tilde{x}(n)$是$x(n)$的周期延拓，那么$\tilde{X}(k)$也是$X(k)$的周期延拓，所以DFT与DFS其实是取主值与周期延拓的关系

补充：DFT相当于是对DTFT进行采样

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