【ACWing】10. 有依赖的背包问题

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/10/

有$N$个物品和一个容量是$V$的背包。物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。每件物品的编号是$i$，体积是$v_i$，价值是$w_i$，依赖的父节点编号是$p_i$。物品的下标范围是$1,\dots ,N$。求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式：
第一行有两个整数$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品个数和背包容量。接下来有$N$行数据，每行数据表示一个物品。第$i$行有三个整数$v_i,w_i,p_i$，用空格隔开，分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。如果$p_i=-1$，表示根节点。数据保证所有物品构成一棵树。

输出格式：
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：
$1\le N,V\le 100$
$1\le v_i,w_i\le 100$
节点编号范围：
内部结点：$1\le p_i\le N$
根节点$p_i=-1$

思路是动态规划，设$f[u][j]$是以$u$为树根的子树里，包含树根的所有方案中，总体积不超过$j$的那些方案的最大价值。那么这些方案可以按照第$i$个子树选不选来分类，这样问题成为一个$0-1$背包问题，对于每个子树$x$，先递归求解$f[x]$，接着枚举该子树耗用的体积（这里可以看成是有体积分别是$0,1,...,j-v_u$，价值分别是$f[x][0],f[x][1],...,f[x][j-v_u]$的物品，我们枚举这些个物品选哪个），来更新$f[u][j-v_u]$。总的来说，这个问题像是做一个分组背包，每个子树看成是一个组，然后这个组里有若干种体积不同的物品，我们只能选其中一个（选体积$0$的那个物品的时候，相当于不选这个组的物品）。枚举$f[u]$的体积的时候可以模仿$0-1$背包的方式，从大到小来枚举，这样可以只开一维，以节省空间。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], w[N];
// 邻接表建树
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// f[u][j]的定义是，在以u为树根的子树里选，包含u的且总体积不超过j的所有方案中，最大价值是多少
int f[N][N];

void add(int a, int b) {
    
    
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 求解f[u]向量
void dfs(int u) {
    
    
	// 枚举每个子树
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
    
    
        int son = e[i];
        // 对于所有的k，递归求解f[son][k]
        dfs(e[i]);
		
		// 枚举体积
        for (int j = m - v[u]; j >= 0; j--)
            for (int k = 0; k <= j; k++)
                f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[son][k]);
    }

    for (int i = m; i >= v[u]; i--) f[u][i] = f[u][i - v[u]] + w[u];
    // 当i < v[u]的时候，树根不能取，也就不存在合法方案，赋值为0
    for (int i = 0; i < v[u]; i++) f[u][i] = 0;
}

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);

    int root;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int p;
        cin >> v[i] >> w[i] >> p;
        if (p == -1) root = i;
        else add(p, i);
    }

    dfs(root);

    cout << f[root][m] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(N{V}^2)$，空间$O(NV)$。