2020牛客多校第七场H-Dividing

题意：

在$1\le n\le N,1\le k\le K$范围内，有多少对$(n,k)$是传奇对。传奇对的条件是：

1. $(1,k)$一定是传奇对；
2. 若$(n,k)$是传奇对，$(n+k,k)$和$(nk,k)$都是传奇对。

题解：

从题意可以看出，应该固定$k$,分析$n$。对于任意一个k，我们来看满足条件的$n$。

首先，$n=1$的时候是传递对，那么在乘$n$和加$n$后,$n=k,n=k+1$都是传奇对。不论是乘$n$还是加$n$，不改变$n\%k$的值，始终$n\%k=0$或者$n\%k=1$。

那么也就是计算
$$\sum _{k=1}^K\sum _{n=1}^N(n\%k==1||n\%k==0)$$
转换一下
$$\sum _{k=1}^K\frac{n}{k}+\sum _{k=2}^K(\frac{n-1}{k}+1)$$
($+1$是因为$\frac{n-1}{k}$里没有计算$n=1,n\%k=1$的情况)

显然，数论分块。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back 
#define fir first
#define sec second
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 
#define INF 0x3f3f3f3f
#define sp system("pause")
#define multi int T;scanf("%d",&T);while(T--) 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=1e4+5;
const int mod=1e9+7;
const db pi=acos(-1.0);
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("D:\\work\\data.in","r",stdin);
    #endif
    ll N,K,ans=0;
    scanf("%lld%lld",&N,&K);
    for(ll l=1,r,p;l<=min(N,K);l=r+1){
        p=N/l;
        r=min(K,N/p);
        ll tmp=(r-l+1)%mod*p%mod;
        ans=(ans+tmp)%mod;
    }
    N--;
    for(ll l=2,r,p;l<=min(N,K);l=r+1){
        p=N/l;
        r=min(K,N/p);
        ll tmp=(r-l+1)%mod*p%mod;
        ans=(ans+tmp)%mod;
    }
    ans=(ans+K-1)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
}

1、 循环终止条件记得加min，否则n<k的时候，$p=\frac{n}{k}=0$，$\frac{n}{0}$会RE。

2、r记得加min，否则会超出范围

3、第二个循环$l$是从2开始的，$k=1$时不存在$n\%k=1$。

4、最后结果加上$K-1$，这是$n=1$时一定成立，$-1$是因为$(1,1)$已经被计算过了。