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2.5、父节点是红色，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点和父亲节点均为左子节点
2.6、父节点是红色且为左子节点，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点为右子节点
2.7、父节点是红色，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点和父节点均为右子节点
2.8、父节点是红色且为右子节点，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点为左子节点
3.2、替换节点是黑色、左子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的右子节点为红色，左子节点任意颜色
3.3、替换节点是黑色、左子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的右子节点为黑色，左子节点为红色
3.4、替换节点是黑色、左子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左右子节点均为黑色
3.6、 替换节点是黑色、右子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左子节点为红色，右子节点任意颜色
3.7、替换节点是黑色、右子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左子节点为黑色，右子节点为红色
3.8、 替换节点是黑色、右子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左右子节点均为黑色
1、红黑树的定义和性质
红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色为红色或黑色。在二叉查找树的一般要求以外，对于任何有效的红黑树增加了如下的额外要求：
- 节点是红色或黑色。
- 根是黑色。
- 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）。
- 每个红色节点必须有两个黑色的子节点。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点。）
- 从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。
这些约束确保了红黑树的关键特性：从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉查找树。
要知道为什么这些性质确保了这个结果，注意到性质4导致了路径不能有两个毗连的红色节点就足够了。最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。
在很多树数据结构的表示中，一个节点有可能只有一个子节点，而叶子节点包含数据。用这种范例表示红黑树是可能的，但是这会改变一些性质并使算法复杂。为此，本文中我们使用"nil叶子"或"空（null）叶子"，如上图所示，它不包含数据而只充当树在此结束的指示。这些节点在绘图中经常被省略，导致了这些树好像同上述原则相矛盾，而实际上不是这样。与此有关的结论是所有节点都有两个子节点，尽管其中的一个或两个可能是空叶子。
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。恢复红黑树的性质需要少量
的颜色变更（实际是非常快速的）和不超过三次树旋转（对于插入操作是两次）。虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为次。
2、插入
我们首先以二叉查找树的方法增加节点并标记它为红色。（如果设为黑色，就会导致根到叶子的路径上有一条路上，多一个额外的黑结点，这个是很难调整的。但是设为红色节点后，可能导致出现两个连续红色节点的冲突，那么可以通过颜色变换和树旋转来调整）下面要进行什么操作取决于其他邻近节点的颜色。
同人类家族树一样，我们将使用叔父节点来指代一个结点的父节点的兄弟结点。注意：
- 性质1和性质3总是保持着。
- 性质4只在增加红色节点、重绘黑色节点为红色，或做旋转时受到威胁。
- 性质5只在增加黑色节点、重绘红色节点为黑色，或做旋转时受到威胁。
在下面的示例中，将要插入的节点标记为N，N的父节点标记为P，N的祖父节点标记为G，N的叔父节点标记为U。在图中展示的任何颜色要么是由它所处情形这些所作的假定，要么是假定所暗含的。
通过下列函数，可以找到一个节点的叔父和祖父节点。
node* grandparent(node* n)
{
return n->parent->parent;
}
node* uncle(node *n)
{
if(n->parent == grandparent(n)->left) //如果父节点是左节点
return grandparent(n)->right;
else
return grandparent(n)->left;
}2.1、红黑树为空树
方法：把当前节点绘制为黑色，并作为根节点插入，
2.2、插入节点的key在红黑树中已存在。
方法：把U设置为当前节点的颜色，然后更新当前节点的值为插入节点的值。
2.3、插入节点的父节点是黑色
方法：因为插入节点是红色的，所以直接插入即可。
2.4、插入节点的父节点是红色，叔叔节点存在并且为红色
2.5、父节点是红色，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点和父亲节点均为左子节点
2.6、父节点是红色且为左子节点，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点为右子节点
2.7、父节点是红色，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点和父节点均为右子节点
2.8、父节点是红色且为右子节点，叔叔节点不存在或者为黑色，当前节点为左子节点
3、删除
我们将要删除的节点称为目标节点，我们删除了这个节点就需要有节点补到被删除节点的位置（叶子节点除外）。
我们默认使用目标节点的右子树中的最小节点（替代节点）去覆盖目标节点（当然也可以使用左子树最大节点），而我们只需要在覆盖完成后删除替代节点即可。现在问题简化为删除叶子节点（因为子树的最小节点一定是叶子节点）。
在删除之前，我们还是来做一个默认名称的规定
下面具体介绍删除操作的集中情形：
3.1、替换节点是红色
3.2、替换节点是黑色、左子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的右子节点为红色，左子节点任意颜色
3.3、替换节点是黑色、左子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的右子节点为黑色，左子节点为红色
3.4、替换节点是黑色、左子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左右子节点均为黑色
3.5、替换节点是黑色、左子节点，兄弟节点是红色
3.6、 替换节点是黑色、右子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左子节点为红色，右子节点任意颜色
3.7、替换节点是黑色、右子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左子节点为黑色，右子节点为红色
3.8、 替换节点是黑色、右子节点，兄弟节点是黑色，兄弟节点的左右子节点均为黑色
3.9、替换节点是黑色、右子节点，兄弟节点是红色
红黑树的删除看完这所有的情况有没有发现一个共同的规律，就是“借”，“借兄弟的” > “借兄弟孩子的” > “借祖先的”，“借”红色的节点以达到删除后的平衡。