有关函数阶关系的符号定义
大O符号
定义：
设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数. 若存在正数 c 和 n0，使得对一切 n ≥ n0有0 ≤ f(n) ≤ c g(n)成立, 则称 f(n) 的渐近的上界是 g(n)，记作f (n) = O(g(n)).
例子:
设 f(n) = n2 + n，则
f(n)=O(n2)，取 c = 2，n0 =1 即可
f(n)=O(n3)，取 c = 1，n0 =2 即可
- f (n) = O(g(n)) ，f(n)的阶不高于g(n)的阶.
- 可能存在多个正数c，只要指出一个即可.
- 对前面有限个值可以不满足不等式.
- 常函数可以写作O(1).
大Ω 符号
定义：
设 f 和 g是定义域为自然数集N上的函数. 若存在正数 c 和 n0，使得对一切 n ≥ n0有 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) 成立, 则称 f(n) 的渐近的下界是 g(n),记作f (n) = Ω (g(n)).
例子:
设 f(n) = n2 + n，则
f(n) = Ω (n2), 取 c = 1, n0 =1即可
f(n) = Ω (100n), 取 c=1/100, n0 =1即可
- f (n)= Ω (g(n))，f(n)的阶不低于g(n)的阶.
- 可能存在多个正数c，指出一个即可.
- 对前面有限个 n 值可以不满足上述不等式.
小o符号
定义:
设 f 和 g是定义域为自然数集 N上的函数. 若对于任意正数 c 都存在 n0，使得对一切 n ≥ n0有 0 ≤ f(n) < c g(n) 成立, 则记作f (n) = o(g(n)).
例子：
f(n)=n2+n，则f(n)=o(n3)。
- c≥1显然成立，因为n2+n<cn3（n0=2）
- 任给1>c >0, 取 n0 > 2/c 即可. 因为cn ≥ cn0 > 2 （当n ≥ n0）n2+n < 2n2 < cn3
- f (n) = o(g(n)) , f(n)的阶低于g(n)的阶
- 对不同正数c, n0不一样. c越小n0越大.
- 对前面有限个 n 值可以不满足不等式.
小ω 符号
定义：
设 f 和 g是定义域为自然数集 N上的函数. 若对于任意正数 c 都存在 n0，使得对一切 n ≥ n0有0 ≤ cg(n) < f(n)成立, 则记作f (n) = ω (g(n))
例子:
设 f (n) = n2 + n，则f (n) = ω (n)，
不能写 f (n) = ω(n2)，因为取 c = 2，不存在n0 使得对一切 n ≥ n0有下式成立 c n2 = 2n2< n2 + n
- f (n)=O (g(n)), f (n)的阶高于g(n) 的阶.
- 对不同的正数c, n0不等，c 越大n0 越大.
- 对前面有限个 n 值可以 不满足不等式.
Θ 符号
定义：
若 f (n) = O (g(n)) 且 f (n) = Ω (g(n)),则记作f (n) = Θ (g(n))
例子：
f(n) =n2 + n, g(n) =100n2，那么有
f(n)=Θ (g(n))
- f(n) 的阶与 g(n) 的阶相等.
- 对前面有限个n 值可以不满足条件.
有关函数渐近的界的定理
定理1
一些重要结果
- 可证明：多项式函数的阶低于指数函数的阶
- 可证明：对数函数的阶低于幂函数的阶
定理 2
定理 设函数f, g, h的定义域为自然数集合，
(1) 如果 f=O(g) 且 g=O(h)，那么 f=O(h).
(2) 如果 f=Ω(g) 且 g=Ω(h)，那么 f =Ω (h).
(3) 如果 f=Θ(g) 和 g=Θ(h)，那么 f =Θ (h).
函数的阶之间的关系具有传递性
定理3
定理 假设函数f 和g的定义域为自然数集，
若对某个其它函数 h, 有 f =O(h) 和 g=O(h)，
那么
f + g = O(h).
该性质可以推广到有限个函数.
算法由有限步骤构成. 若每一步的时间复
杂度函数的上界都是 h(n)，那么该算法的
时间复杂度函数可以写作 O(h(n)).
对三个定理小结
- 估计函数的阶的方法：
计算极限
阶具有传递性 - 对数函数的阶低于幂函数的阶，多项
式函数的阶低于指数函数的阶. - 算法的时间复杂度是各步操作时间之
和，在常数步的情况下取最高阶的函
数即可.
几类重要的函数
基本函数类
对数函数
有关性质(1)的证明:
有关性质(2)(3)的说明
指数函数与阶乘
应用：估计搜索空间大小
log(n!) = Ω (nlogn)的证明
log(n!) = O(nlogn)的证明
取整函数
取整函数的定义
取整函数的性质
