DFA确定化和最小化

从正规式开始

一、先将正规式转换成NFA

通过下面的对应法则将正规式转换成NFA

例如：

二、再将NFA转成DFA（子集法）

运用子集法的3个概念：
(1 )状态集的ε-闭包: 状态集I中的任何状态s经任意条ε弧而能到达的所有状态的集合，定义为状态集I的ε -闭包，表示为$\epsilon -closure()$。

(2)状态集的a弧转换: 状态集I中的任何状态s经过一条a弧而能到达的所有状态的集合，定义为状态集1的a弧转换，表示为move(l,a)。

(3)状态集的a弧转换的闭包a:$lg=\epsilon -closure(move(l,a))$

上面的正规式转换成NFA：

先从初态0开始求：

【因为每个状态通过一条ε弧到达自己本身，所以求得ε的闭包包含自己】

（1）求0的ε的闭包：经过任意条ε所能到达的状态，集合为{0,1,3,4,5,6,7,9}

（2）求0的a弧转换：1经过a弧到达2，4经过a弧到达4，其余没有经过一条a弧到达某个状态，所以集合为{2,4}
（3）求a弧转换的闭包：{2,4}分别经过任意条ε所能到达的状态，集合为{2,4,6,7,9}

（4）求0的b弧转换：5经过b到5，7经过b到8，，其余没有经过一条b弧到达某个状态，所以集合为{5,8}

（5）求b弧转换的闭包：{5,8}分别经过任意条ε所能到达的状态，集合为{5,6,7,8,9}
0的ε-闭包：{0,1,3,4,5,6,7,9}
0的a弧转换：{2,4}
0的a弧转换的ε-闭包：{2,4,6,7,9}
0的b弧转换：{5,8}
0的b弧转换的ε-闭包：{5,6,7,8,9}
现在列一个表格：
（1）表格的列数为输入字符的个数+1，此题为a，b两个输入字符，所以为3列。
（2）第一列第一行填写初态的ε-闭包（此题0的ε-闭包），第二列第一行填写初态的a弧转换的ε-闭包（此题0的a弧转换的ε-闭包），第三列第一行填写初态的b弧转换的ε-闭包（此题0的b弧转换的ε-闭包）…以此类推。
（3）第一列的第二行以下填入上一行第二列以后的没有出现过的状态集。（此题第一行第二列第三列都没有出现在第一列中，将他们填入第一列）

I	$I_a$	$I_b$
{0,1,3,4,5,6,7,9}	{2,4,6,7,9}	{5,6,7,8,9}
{2,4,6,7,9}
{5,6,7,8,9}

下图为填好的表：
【新的终态的判断方法就是包含原来终态的集合就为终态，例如此题原来终态为9，所以包含9的集合就为终态，[双圈代表终态]；
新的初态就是包含原来初态的集合就为初态，例如此题原来初态为0，所以包含0的集合就为初态】

为表里的状态集重新标上号：

可以得到下面的图：

这个图是还不是最小化的DFA，还需要DFA最小化。但下面DFA最小化重新举例。

三、将DFA最小化

先了解几个概念：

1.多余状态：对于一个状态$S_i$，若从开始状态出发，不可能到达改状态Si，则Si为多余（无用）状态。

2.死状态：对于一个状态Si，对于任意输入符号a，若转到它本身后，不可能从它到达终止状态，则称Si为死状态。

1,2都称为无关状态

3.等价状态：若Si为自动机的一个状态，我们把从Si出发能导出的所有符号串的集合记为L（Si）。
设有两个状态Si和Sj，若有$L（Si）=L（Sj）$，则称Si和Sj是等价状态。

4.可区别状态：自动机中两个状态Si和Sj，如果它们不等价，则称它们可区别。

5.两个状态(Si和Sj)等价的判断条件:

（1）状态Si和Sj必须同时为终止状态或同时为非终止状态。即终止状态和非终止状态是可区别的。

（2）状态Si和Sj对于任意输入符a∈Σ，必须转到等价的状态里，否则Si和Sj是可区别的。

DFA的化简算法：对于DFA M=(S,Σ,f,S0,Z)
(1)首先将DFA的状态集进行初始化，分成Π=(Z,S-Z);
(2) 用下面的过程对Π构造新的划分Π new
for (Π中每个组G) do //每个组都是一个状态集
begin
把G划分成小组，G中的任意两个状态Si和Sj在同一组中，当且仅当对于Σ中任意输入符号a ，Si和Sj的a转换是到同一组中，move(Si,a) ∈Gi ，move(Sj,a) ∈Gi。这样，只要Si和Sj的a转换是到不同的组中，则说明Si和Sj是可区别的，可进行划分。在Π new中用刚完成的对G的划分代替原来的G。
end ; Π := Π new；
(3)重复执行(2)，直到Π中每个状态集不能再划分(Π new= Π)为止;
(4)合并等价状态 ,在每个G中，取任意状态作为代表，删去其它状态;
(5)删去无关状态，从其它状态到无关状态的转换都成为无定义。
举例：

①首次划分: Π0=({2,3,4,5},{0,1})

②在G={2,3,4,5}中:f(2,a)=1，f(4,a)=0(转向终态集{0,1})；f(3,a)=3,f(5,a)=5(转向非终态集{2,3,4,5})，故{2,4}和{3,5}是可区别的，得Π1=({2,4}，{3,5}，{0,1})；

③在G={2,4}中，f(2,a)=1，f(4,a)=0(转向终态子集),而f(2,b)=3,f(4,b)=5(转向非终态子集{3,5}),所以不可区别，不再进行划分；

④考察G={3,5}，f(3,a)=3,f(5,a)=5(转向非终态子集{3,5})，f(3,b)=2,f(5,b)=4(转向非终态子集{2,4}), 所以不可区别，不再进行划分；

⑤考察G={0,1}，f(0,a)=f(1,a)=1(转向终态集{0,1}); f(0,b)=2,f(1,b)=4(转向非终态子集{2,4}),所以不可区别，不再进行划分；

⑦进一步进行考察，可以发现每个子集都不能再划分了；

⑧消去等价状态：{0,1}用0表示，{2,4}用2表示，{3,5}用3表示，如右图所示

⑨去掉无关状态，因DFA M’中没有无关状态，所以下图即为最后结果。