本文介绍一种神经网络的可视化方法：积分梯度（Integrated Gradients），它首先在论文 Gradients of Counterfactuals [1] 中提出，后来 Axiomatic Attribution for Deep Networks [2] 再次介绍了它，两篇论文作者都是一样的，内容也大体上相同，后一篇相对来说更易懂一些，如果要读原论文的话，建议大家优先读后一篇。
当然，它已经是 2016-2017 年间的工作了，“新颖”说的是它思路上的创新有趣，而不是指最近发表。
所谓可视化，简单来说就是对于给定的输入 x 以及模型 F(x)，我们想办法指出 x 的哪些分量对模型的决策有重要影响，或者说对 x 各个分量的重要性做个排序，用专业的话术来说那就是“归因”。一个朴素的思路是直接使用梯度来作为 x 各个分量的重要性指标，而积分梯度是对它的改进。
然而，笔者认为，很多介绍积分梯度方法的文章（包括原论文），都过于“生硬”（形式化），没有很好地突出积分梯度能比朴素梯度更有效的本质原因。本文试图用自己的思路介绍一下积分梯度方法。
朴素梯度
首先，我们来学习一下基于梯度的方法，其实它就是基于泰勒展开：
我们知道是大小跟 x 一样的向量，这里
为它的第 i 个分量，那么对于同样大小的
，
的绝对值越大，那么
相对于
的变化就越大，也就是说：
衡量了模型对输入的第 i 个分量的敏感程度，所以我们用
作为第 i 个分量的重要性指标。
这种思路比较简单直接，在论文 How to Explain Individual Classification Decisions [3] 和 Deep Inside Convolutional Networks: Visualising Image Classification Models and Saliency Maps [4] 都有描述，在很多时候它确实也可以成功解释一些预测结果，但它也有明显的缺点。
很多文章提到了饱和区的情况，也就是一旦进入到了饱和区（典型的就是h的负半轴），梯度就为 0 了，那就揭示不出什么有效信息了。
从实践角度看，这种理解是合理的，但是笔者认为还不够深刻。从之前的文章对抗训练浅谈：意义、方法和思考（附 Keras 实现）可以看出，对抗训练的目标可以理解为就是在推动着 ，这也就可以理解为，梯度是可以被“操控”的，哪怕不影响模型的预测准确率的情况下，我们都可以让梯度尽可能接近于0。
所以，回到本文的主题，那就是： 确实衡量了模型对输入的第 i 个分量的敏感程度，但敏感程度不足以作为重要性的良好度量。
积分梯度
鉴于直接使用梯度的上述缺点，一些新的改进相继被提出来，如 LRP [5]、DeepLift [6] 等，不过相对而言，笔者还是觉得积分梯度的改进更为简洁漂亮。
2.1 参照背景
首先，我们需要换个角度来理解原始问题：我们的目的是找出比较重要的分量，但是这个重要性不应该是绝对的，而应该是相对的。比如，我们要找出近来比较热门的流行词，我们就不能单根据词频来找，不然找出来肯定是“的”、“了”之类的停用词，我们应当准备一个平衡语料统计出来的“参照”词频表，然后对比词频差异而不是绝对值。这就告诉我们，为了衡量 x 各个分量的重要性，我们也需要有一个“参照背景” 。
当然，很多场景下我们可以简单地让，但这未必是最优的，比如我们还可以选择
为所有训练样本的均值。我们期望
应当给一个比较平凡的预测结果，比如分类模型的话，
的预测结果应该是每个类的概率都很均衡。于是我们去考虑
，我们可以想象为这是从 x 移动到
的成本。
如果还是用近似展开（1），那么我们将得到：
对于上式，我们就可以有一种新的理解：
从 x 移动到 的总成本为
，它是每个分量的成本之和，而每个分量的成本近似为
，所以我们可以用
作为第i个分量的重要性指标。
当然，不管是 还是
，它们的缺陷在数学上都是一样的（梯度消失），但是对应的解释却并不一样。前面说了，
的缺陷源于“敏感程度不足以作为重要性的良好度量”，而纵观这一小节的推理过程，
的缺陷则只是因为“等式（2）仅仅是近似成立的”，但整个逻辑推理是没毛病的。
2.2 积分恒等
很多时候一种新的解释能带给我们新的视角，继而启发我们做出新的改进。比如前面对缺陷的分析，说白了就是说“ 不够好是因为式（2）不够精确”，那如果我们直接能找到一个精确相等的类似表达式，那么就可以解决这个问题了。
积分梯度正是找到了这样的一个表达式：设 代表连接 x 和
的一条参数曲线，其中
，那么我们有：
所以积分梯度就提出使用：
作为第i个分量的重要性度量。作为最简单的方案，自然就是将取为两点间的直线，即：
这时候积分梯度具体化为：
所以相比 的话，就是用梯度的积分
替换 ,也就是从 x 到
的直线上每一点的梯度的和的平均结果。直观来看，由于考虑了整条路径上的所有点的梯度，因此就不再受某一点梯度为 0 的限制了。
如果读者看了积分梯度的两篇原始论文，就会发现原论文的介绍是反过来的：先莫名其妙地给出式（6），然后再证明它满足两点莫名其妙的性质（敏感性和不变性），接着证明它满足式（3）。
总之就是带着读者做了一大圈，就是没说清楚它是一个更好的重要性度量的本质原因——大家都是基于对 的分解，而式（3）比式（2）更为精确。
2.3 离散近似
最后就是这个积分形式的量怎么算呢？深度学习框架没有算积分的功能呀。其实也简单，根据积分的“近似-取极限”定义，我们直接用离散近似就好，以式（6）为例，它近似于：
所以还是那句话，本质上就是“从 x 到 的直线上每一点的梯度和的平均”，比单点处的梯度效果更好。