【DA】卡方检验实例

应用例子1：一个总体的方差或标准差检验

双尾检验

【例1】某厂生产一种新型饮料装瓶机器，该机器装一瓶一升（1000cm3）的饮料误差上下不超过1cm3。如果达到设计要求，表明机器的稳定性非常好。先从该机器装完的产品中随机抽取25瓶，分别进行测定（用样本减1000cm3），得到一组数据如下：0.3,-0.4,-0.7,1.4,-0.6,-0.3,-1.5,0.6,-0.9,1.3,-1.3,0.7,1,-0.5,0,-0.6,0.7,-1.5,-0.2,-1.9,-0.5,1,-0.2,-0.6,1.1
现检验该机器的性能是否达到了设计要求？（$\alpha =0.05$）

1. 建立原假设和备择假设。
   $H_0:{\sigma }^2=1,H_1:{\sigma }^2\ne 1,\alpha =0.05$

2. 计算统计量${\chi }^2$值
   $$S^2=\frac{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1}=0.866$$
   $${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{(25-1)\ast 0.866}{1}=20.8$$

3. 确定自由度与理论${\chi }^2$值。
   $$df=n-1=25-1=24$$
   $$右侧：{\chi }_{\alpha /2}^2(df)={\chi }_{0.05/2}^2(24)=39.36$$
   $$左侧：{\chi }_{1-\alpha /2}^2(df)={\chi }_{1-0.05/2}^2(24)=12.40$$

4. 比较计算所得${\chi }^2$值与理论${\chi }^2$值。
   $$12.40={\chi }_{1-0.05/2}^2(24)<{\chi }^2=20.8<{\chi }_{0.05/2}^2(24)=39.36$$
   决策：在$\alpha =0.05$的水平上不拒绝$H_0$ ；
   结论：该机器的性能达到了要求。
   

单尾检验

【例2】用机器包装食盐，假设没带盐的净重Xg，服从正态分布$N(\mu ，{\sigma }^2)$，规定每袋盐的标准重量为500g，标准差不超过10g。某天开工，为检验机器工作是否正常，随机抽取了9袋盐，测得净重为497,507,510,475,488,524,491,515,484。
问这天该机器的工作是否正常？（$\alpha =0.05$）

1. 建立原假设和备择假设。
   $H_0:\mu ={\mu }_0=500,H_1:\mu \ne {\mu }_0,\alpha =0.05$ （$t$检验,结论是机器包装没有产生系统误差）
   $H_0:{\sigma }^2\le 10^2,H_1:{\sigma }^2>10^2,\alpha =0.05$

2. 计算统计量${\chi }^2$值
   $$S=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1}}=16.03$$
   $${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{(9-1)\ast 16.03^2}{10^2}=20.56$$

3. 确定自由度与理论${\chi }^2$值。
   $$df=n-1=9-1=8$$
   $$右侧：{\chi }_{\alpha }^2(df)={\chi }_{0.05}^2(8)=15.51$$

4. 比较计算所得${\chi }^2$值与理论${\chi }^2$值。
   $${\chi }^2=20.56>{\chi }_{0.05}^2(8)=15.51$$
   决策：在$\alpha =0.05$的水平上拒绝$H_0$ ；
   结论：认为方差超过$10^2$，即包装机的工作虽没有系统误差，但是不够稳定，因此可认为这天机器工作不够正常。

应用例子2：拟合优度检验

需要检验总体的分布函数F(x)是否等于某个给定的函数 F0(x) ，可以根据经验来进行确定。含有未知参数时，应利用样本资料，采用点估计、极大似然估计求得，再进行检验。

【例3】自1965.1.1至1971.2.9共2231天中，全世界记录里氏震级4级和4级以上地震共162次，统计如下：

试检验相继两次地震间隔天数X服从指数分布（$\alpha =0.05$）。

1. 建立原假设和备择假设。
   $H_0:总体X的概率密度为f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }}\text{,x>0}\\ 0\text{,x≤0}\end{array},H_1:总体X的概率密度不为f(x)$
   由于在$H_0$中的参数$\theta$没有给出，故要先估计$\theta$。
   由极大似然估计法得$\hat{\theta }=\bar{x}=\frac{2231}{162}=13.77$，$x$为连续型随机变量
2. 求出期望频数与卡方统计量。 将$x$取值范围$[0,+\infty ]$划分成$A_1,...,A_9$，落入$A_i$区间的样本值个数为$f_i$：实测频数，所有实测频数$f_1+...+f_k=n(样本容量)$。根据所假设的理论分布，我们可以算出落入每个区间$A_i$的概率$p_i$，于是$n{p}_i$为$A_i$区间的 理论频数。
   
   在$H_0$为真的前提下，X的分布函数的估计为
   $$\hat{F}(x)=\{\begin{array}{c}1-e^{-\frac{x}{13.77}}\text{,x>0}\\ 0\text{,x≤0}\end{array}$$
   $$\widehat{p_i}=\hat{P}(A_i)=\hat{P}(a_i\le X<a_{i+1})=\hat{F}(a_{i+1})-\hat{F}(a_i)$$
   $$\widehat{p_2}=\hat{P}(A_2)=\hat{P}(4.5\le X<9.5)=\hat{F}(9.5)-\hat{F}(4.5)=0.2196$$
   $$\widehat{p_9}=\hat{F}(A_9)=1-\sum _{i=1}^8\hat{F}(A_i)=0.0568$$
   $${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(f_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}=1.5633$$
3. 确定自由度与理论${\chi }^2$值。
   $${\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(k-r-1)={\chi }_{\alpha }^2(9-1-1)={\chi }_{0.05}^2(7)=14.07$$
4. 比较计算所得${\chi }^2$值与理论${\chi }^2$值。
   $${\chi }^2=1.5633<{\chi }_{0.05}^2(7)=14.07$$
   决策：在$\alpha =0.05$的水平上接受$H_0$ ；
   结论：认为样本服从指数分布。

【例4】某金融系统贷款的偿还类型有四种，各种的预期还率为80%、12%、7%和1%。在一段时间的观察记录中，A型按时偿还的有380笔、B型偿还有69笔、C型有 43笔、D笔有8笔。问这些结果与预期的是否一致（$\alpha =0.05$）。

1. 建立原假设和备择假设。
   $H_0:结果与预期一致,H_1:结果与预期不一致$
   或
   $H_0:P_1=80\%，P_2=12\%,P_3=7\%,P_4=1\%,H_1:P_i\ne P_{i0}$
2. 求出期望频数与卡方统计量。 将总体取值范围划分成$A_1,...,A_k$，落入$A_i$区间的样本值个数为$f_i$：实测频数，所有实测频数$f_1+...+f_k=n(样本容量)$。根据所假设的理论分布，我们可以算出落入每个区间$A_i$的概率$p_i$，于是$n{p}_i$为$A_i$区间的 理论频数。
   $$n{p}_1=80\%\ast 500=400，n{p}_2=12\%\ast 500=60，n{p}_3=7\%\ast 500=35，n{p}_4=1\%\ast 500=5$$
   $${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(f_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}=5.98$$
   
3. 确定自由度与理论${\chi }^2$值。
   $拒绝域：{\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(k-1)={\chi }_{0.05}^2(4-1)={\chi }_{0.05}^2(3)=7.81$
4. 比较计算所得${\chi }^2$值与理论${\chi }^2$值。
   $${\chi }^2=5.98<{\chi }_{0.05}^2(3)=7.81$$
   决策：在$\alpha =0.05$的水平上接受$H_0$ ；
   结论：认为结果与预期一致，观测的比率与期望的比率一致。

应用例子3：两变量独立性检验

【例5】我们要观察性别和在线上买不买生鲜食品有没有关系（$\alpha =0.1$）。
现实生活中，女性通常去菜市场买菜的比较多，那么在线上是不是也这样。

1. 建立原假设和备择假设。
   $H_0:“性别”与“在线上买不买生鲜食品”之间无关,H_1:两变量之间有关$
2. 列出相关性表：相关性表的每列是每一种目标值，如患病和不患病、有效和无效、骰子取值123456等。每行是每种条件，分观察值和理论值。
   
3. 计算${\chi }^2$值。
   $${\chi }^2=\sum \frac{(O-E{)}^2}{E}=\frac{(527-484{)}^2}{484}+\frac{(72-115{)}^2}{115}+\frac{(206-249{)}^2}{249}+\frac{(102-59{)}^2}{59}=58.4$$
4. 确定自由度与理论${\chi }^2$值。
   $$df=(行数-1)(列数-1)=(2-1)(2-1)=1$$
   $$拒绝域：{\chi }_{\alpha }^2(df)={\chi }_{0.1}^2(1)=2.71$$
5. 比较计算所得${\chi }^2$值与理论${\chi }^2$值。
   $${\chi }^2=58.4>{\chi }_{0.1}^2(1)=2.71$$
   决策：在$\alpha =0.1$的水平上拒绝$H_0$ ；
   结论：认为“性别”与“在线上买不买生鲜食品”显著相关。