微积分：连续性和可导性

本文为《普林斯顿微积分读本》的读书笔记

连续性

在一点处连续

• 可以对定义进行更精确一些的描述, 并明确地要求以下三条成立：
  • (1) 双侧极限 $li{m}_{x\to a}f(x)$ 存在 (并且是有限的);
  • (2) 函数在点 $x=a$ 处有定义, 即 $f(a)$ 存在(并且是有限的);
  • (3) 以上两个量相等, 即
    $$li{m}_{x\to a}f(x)=f(a)$$

在一个区间上连续

• 如果函数在区间 $(a,b)$ 上的每一点都连续, 那么它在该区间上连续.
  • 注意到 $f$ 实际上没有必要在端点 $x=a$ 或 $x=b$ 上连续
• 函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 如果
  • (1) 函数 $f$ 在 $(a,b)$ 中的每一点都连续;
  • (2) 函数 $f$ 在点 $x=a$ 处右连续; 即, $li{m}_{x\to a^{+}}f(x)$ 存在(且有限), $f(a)$ 存在, 并且这两个量相等;
  • (3) 函数 $f$ 在点 $x=b$ 处左连续; 即, $li{m}_{x\to b^{-}}f(x)$ 存在(且有限), $f(b)$ 存在, 并且这两个量相等.
• 最后, 如果函数在其定义域中的所有的点都连续, 我们就说它是连续的
  • 一个连续函数的常数倍是连续的; 此外, 如果对两个连续函数做加法、减法、乘法或复合, 会得到另一个连续函数; 当用一个连续函数除以另一个连续函数的时候, 这几乎也一样成立：除了分母为零的点外, 商函数处处连续. (例如, 除了在 $x=0$ 处, $1/x$ 在其他各处都是连续的)
  • 因此，由 $g(x)=x$ 是 $x$ 的连续函数，让 $g$ 和它自己相乘，可以证明 $x$ 的任意次幂的连续性. 然后乘以常数系数, 并将不同次幂相加在一起, 得到任意一个多项式, 并且每一个仍然是连续的

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例
考虑函数 $g$ 的连续性

• 除了在 $x=0$ 处, $1/x$ 在其他各处都是连续的. 现在, 我们将它与正弦函数作复合, 除了在 $x=0$ 处, $sin(1/x)$ 在其他各处也都是连续的. 用 $x$ (这显然是 $x$ 的连续函数) 和 $sin(1/x)$ 相乘就可以看到除了在 $x=0$ 处外, $f$ 在其他各处都是连续的
• 由夹逼定理可得 $li{m}_{x\to 0}g(x)=0$, 因此 $li{m}_{x\to 0}g(x)=g(0)$

介值定理

可以用任意数 $M$ 来替换 $0$, 结果依然成立.

证明

• 假设 $f(a)<0,f(b)>0$
• 我们考虑区间 $[a,b]$ 上使得 $f(x)<0$ 的 $x$ 值的集合. 我们知道 $a$ 在这个集合中, 因为 $f(a)<0$; 而 $b$ 不在这个集合中. 我们想要求出此集合中最大的数 $c$, 但这或许不太可能. 例如, 小于 $0$ 的最大数是什么呢？没有. 对于任意的负数, 你总是可以找到一个更接近 $0$ 的负数, 例如, 将你的数除以 $2$. 另一方面, 我们可以找到此集合中右边穿插的一个数 $c$. 特别地, 我们可以坚持说此集合中没有哪个元素在 $c$ 的右边, 而且任意带有端点 $c$ 的开区间至少包括此集合中的一个元素， 即:
  • (1) 对于任意的 $x>c$, 我们有 $f(x)>0$;
  • (2) 对于任意的区间 $(c-\delta ,c)$, 其中 $\delta >0$, 区间内至少存在一点 $x$ 使得 $f(x)<0$.
• 以下就是重要的问题：$f(c)$ 是什么？
  • 假设 $f(c)<0$. 在这种情况下, 由于 $f(b)>0$, 故 $c\ne b$. 下面考虑 $li{m}_{x\to c}f(x)$. 你可以选择 $\epsilon =-f(c)/2$ (它是正的), 那么你的容忍区间就是 $(3f(c)/2,f(c)/2)$, 它仅由负数组成. 我不能选取任何位于 $[a,b]$ 中形如 $(c-\delta ,c+\delta )$ 的区间使得 $\forall x\in (c-\delta ,c+\delta )$, 有 $|f(x)-f(c)|<\epsilon$, 因为任何这样的区间都包含一个大于 $c$ 的 $x$ 使得 $f(x)>0$, 这表示它不会位于你的容忍区间. 因此, 不可能有 $f(c)<0$.
    • 直观上来讲，因为 $f$ 是连续的, 所以当 $x$ 在 $c$ 的附近时, $f(x)$ 的值应该在 $f(c)$ 的附近; 但当 $x$ 在 $c$ 的右边一点点时就会有问题, 因为 $f(x)$ 预期应该是正的, 而 $f(c)$ 为负.
  • 假设 $f(c)>0$. 在这种情况下, $c\ne a$. 同理可证，这也是不可能的
  • 因此，$f(c)=0$, 该定理得证

也可由介值定理证得, 任意的奇数次多项式至少有一个根.

连续函数的最大值和最小值

• 注意: 连续性区间必须是闭区间；例如下图中，图 1 既没有最大值，也没有最小值；图 2 没有最大值
  

证明

• 我们想要证明的是, 你可以放置某条水平线 $y=N$, 使得所有的函数值 $f(x)$ 都位于这条线的下方
• 假设你画不出这样的一条线. 那么, 对于每一个正数 $N$, 在 $[a,b]$ 中存在某个点 $x_N$ 使得 $f(x_N)>N$. 我们在 $x$ 轴上用 X 将它们标出来. 有无穷多个这样的点. 因此, 如果我们将区间 $[a,b]$ 分成两半得到两个新的区间, 它们中的某一个定然包含无穷多个标记点. 让我们把注意力集中在原始区间中包含无穷多个标记点的那一半上. 现在, 我们用新的更小的区间重复这个练习：将它分成两半. 其中之一一定包含无穷多个标记点. 只要你喜欢, 我们就继续做这个练习, 你会得到一个变得越来越小的区间的集合, 一个套一个, 并且每一个都包含无穷多个标记点. 我们将这些区间一个一个地堆在一起, 如下图所示
  
• 直观上, 必有实数存在于所有这些区间之中 (实轴的完备性), 我们称之为数 $q$. 我们知道
  $$li{m}_{x\to q}f(x)=f(q)$$因此, 打个比方, 如果你选取的 $\epsilon$ 是 $1$, 那么我应该能够找到一个区间 $(q-\delta ,q+\delta )$, 使得对于所有该区间中的 $x$ 都有 $|f(x)-f(q)|<1$. 问题是, 这个区间 $(q-\delta ,q+\delta )$ 包含了无穷多个标记点! 这才是问题所在：当你对其中任意一个标记点取 $f$ 值时, 会得到一个介于 $f(q)-1$ 和 $f(q)+1$ 之间的数. 因此, 不管 $f(q)$ 是什么, 我们都会陷入困境：某些标记点的函数值会远远大于 $f(q)+1$. 一切都将失去控制. 因此, 画不出让整个函数位于其下方的直线 $y=N$, 这一假设是错的.
• 事情还没有结束. 我们有了这条线 $y=N$, 它位于 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 的图像的上方, 现在, 我们需要将它向下移动, 直到它接触到该图像以便求最大值. 因此, 我们选取尽可能小的 $N$, 使得对于 $[a,b]$ 内的所有 $x$ 有 $f(x)\le N$. (我们再次使用了完备性. ) 现在我们需要证明, 对于某个 $c$ 有 $N=f(c)$.
  • 为了求证, 我们要重复在标记点中所使用的技巧, 只是这一次将它们用圈标记出来. 我们选取一个正整数 $n$, 在 $[a,b]$ 中一定能够找到某个数 $c_n$, 使得 $f(c_n)>N-1/n$. 如若不然, 我们就应该在 $y=N-1/n$ (或更低处) 而不是 $y=N$ 处画那条线. 因此, 存在这样的一个 $c_n$, 且对于每一个正整数 $n$ 都存在. 我们将这些点圈起来. 有无穷多个这样的点, 当你对它们取 $f$ 值时, 其结果会越来越接近 (事实上是任意地接近) $N$. 现在, 我们所要做的就是持续将区间 $[a,b]$ 进行二分, 使得每一个小区间都包含无穷多个圈起来的点. 和前面一样, 在所有的区间中都存在一个数 $c$. 这个数又被圈起来的点所环绕着.
  • $f(c)$ 是什么呢？它不可能大于 $N$, 但或许它会小于 $N$. 我们假设 $f(c)=M$, 其中 $M<N$, 另外设 $\epsilon =(N-M)/2$. 由于 $f$ 是连续的, 我们实际上需要
    $$li{m}_{x\to c}f(x)=f(c)=M$$你有你的 $\epsilon$, 因此我需要找到一个区间 $(c-\delta ,c+\delta )$, 使得对于在我区间内的 $x$, $f(x)$ 位于 $(M-\epsilon ,M+\epsilon )$ 中. 问题是 $M+\epsilon =N-\epsilon$, 且不管我如何选取 $\delta >0$, 都有无穷多个圈起来的点位于 $(c-\delta ,c+\delta )$ 中. 它们其中一些的函数值可能位于 $(M-\epsilon ,M+\epsilon )$ 中, 但由于函数值会变得接近 $N$, 因而大多数不会位于 $(M-\epsilon ,M+\epsilon )$ 中. 因此, $f(c)=N$. 这表示 $c$ 是函数取得最大值的点.
• 要得到定理的最小值的形式, 只需要将定理重新应用到 $g(x)=-f(x)$ 上就可以了.

可导性

导数的定义

• 如果极限存在的话, 有
  $$f^{\prime }(x)=li{m}_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=li{m}_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$在这种情况下, $f$ 在 $x$ 点可导.
• 可以用一种不同的且更方便的方法来写导数 ($dx$ 表示 $x$ 中十分微小的变化)：
  $$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$$

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线性函数 $f(x)=mx+b$ 的导数

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二阶导及更高阶导数

• 二阶导, 写作 $f^{\prime \prime }$.
  • 如果 $y=f(x)$, 那么 $f^{\prime \prime }(x)$ 可以写作 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$
• $n$ 阶导可以写作 $f^{(n)}(x)$

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何时导数不存在

• 分别定义右导数和左导数为
  $$li{m}_{h\to 0^{+}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},li{m}_{h\to 0^{-}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$如果左导数和右导数存在且相等, 那么实际的导数存在且有相同的值.

可导函数必连续

• 可导函数必连续. 但连续函数并不总是可导的

证明

• 要证明 $f$ 在 $x$ 上连续, 需要证明
  $$li{m}_{u\to x}f(u)=f(x)$$令 $h=u-x$, 则需要证明
  $$li{m}_{h\to 0}f(h+x)=f(x)$$
• 先计算下面的极限;
  $$li{m}_{h\to 0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times h)=li{m}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times li{m}_{h\to 0}h=f^{\prime }(x)\times 0=0$$又因为
  $$li{m}_{h\to 0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times h)=li{m}_{h\to 0}(f(x+h)-f(x))=li{m}_{h\to 0}f(h+x)-f(x)$$结合上面两式，便可得到
  $$li{m}_{h\to 0}f(h+x)=f(x)$$