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蒙提霍尔问题简述

三门问题——亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。问题是这样的：

参赛者面前有三扇关闭着的门，其中一扇的后面是一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，主持人会开启剩下两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要更换选择，选另一扇仍然关着的门。

这里写图片描述

然后我们的问题就是：是坚持原来的选择赢的可能性大，还是更换选择赢的可能性大。这里我不会去讨论那些纠结的问题，因为这个问题没有什么可纠结的，答案是确定的：坚持原来的选择赢的可能性是三分之一，更换选择赢的可能性是三分之二。下面我将给出两种方式进行解答。

上帝视角

我们以上帝的视角来考虑这个问题，我们设定一共有360个平行世界，在一个世界中进行游戏的同时，另外359个世界也在进行着同样的游戏，只是游戏的过程有所不同。我们设定360个世界中，有120个世界里门1是正确答案，有120个世界里门2是正确答案，有120个世界里门3是正确答案。接下来由参赛者进行选择，其中在门1是正确答案的120个平行世界里，有40个世界参赛者选择门1，有40个参赛者选择门2，有40个参赛者选择门3，另外门2是正确答案的120个世界和门3是正确答案的120个世界也是如此。以上内容整理如下：

第一轮	参赛者选择门1	参赛者选择门2	参赛者选择门3
门1是正确答案	正确：40个世界	错误：40个世界	错误：40个世界
门2是正确答案	错误：40个世界	正确：40个世界	错误：40个世界
门3是正确答案	错误：40个世界	错误：40个世界	正确：40个世界

第二轮，由主持人打开一扇门。此时应该注意的是，如果参赛者选择的门是错误的，那么剩下的两扇门分别是一个正确一个错误，此时主持人只能打开错误的那扇门；如果参赛者选择的门是正确的，那么主持人可以在剩下的两扇门中任选一个。因此第二轮的结果如下：

第二轮	参赛者选择门1	参赛者选择门1	参赛者选择门2	参赛者选择门2	参赛者选择门3	参赛者选择门3
主持人	打开门2	打开门3	打开门1	打开门3	打开门1	打开门2
门1是正确答案	正确：20个世界	正确：20个世界	ERROR	错误：40个世界	ERROR	错误：40个世界
门2是正确答案	ERROR	错误：40个世界	正确：20个世界	正确：20个世界	错误：40个世界	ERROR
门3是正确答案	错误：40个世界	ERROR	错误：40个世界	ERROR	正确：20个世界	正确：20个世界

接下来，我们从上帝的视角来观察这360个平行世界，不难发现，如果所有的参赛者都坚持原来的选择，那么只有120个世界的参赛者选择了正确答案；但是如果所有的参赛者都更换选择，则会有240个世界的参赛者选择了正确的答案。至于那些网上的争议，是因为他们没有考虑到这样的情况，参赛者选择了门3而主持人打开了门1的世界有60个，其中门3是正确答案的世界只有20个。

上帝视角的关键性在于，考虑存在平行世界的情况，对于某个特定的世界来说，所有的结果都已经确定，不存在任何随机事件，但是人们无法确定自己身处那个世界，却可以由世界的总数和发生特定事件的世界的数量来计算自身所处在某个世界的概率。

暴力数学

对于上帝视角和平行世界，你可能不相信这么玄学的解释，那么，没办法了，只能通过暴力的数学计算来说服你了。

先假定3个随机变量，设X是正确的门，Y是参赛者选择的门，Z是主持人打开的门。
我在这里只计算一种情况，有兴趣的读者可以自己去计算其他情况。
我们考虑计算参赛者选择了门3而主持人打开了门1的情况下，门3是正确答案的概率，显然，这是一个条件概率：

P (X = 3 | Y = 3 ， Z = 1) = \frac{P (X = 3 ， Y = 3 ， Z = 1)}{P (Y = 3 ， Z = 1)}

$P(X=3|Y=3，Z=1)= \frac{P(X=3，Y=3，Z=1)}{P(Y=3，Z=1)}$

= \frac{P (X = 3 ， Y = 3 ， Z = 1)}{P (X = 1 ， Y = 3 ， Z = 1) + P (X = 2 ， Y = 3 ， Z = 1) + P (X = 3 ， Y = 3 ， Z = 1)}

$= \frac{P(X=3，Y=3，Z=1)}{P(X=1，Y=3，Z=1)+P(X=2，Y=3，Z=1)+P(X=3，Y=3，Z=1)}$

= \frac{P (X = 3 ， Y = 3 ， Z = 1)}{P (Z = 1 | X = 1 ， Y = 3) P (Y = 3 | X = 1) P (X = 1) + P (Z = 1 | X = 2 ， Y = 3) P (Y = 3 | X = 2) P (X = 2) + P (Z = 1 | X = 3 ， Y = 3) P (Y = 3 | X = 3) P (X = 3)}

$= \frac{P(X=3，Y=3，Z=1)}{P(Z=1|X=1，Y=3)P(Y=3|X=1)P(X=1)+P(Z=1|X=2，Y=3)P(Y=3|X=2)P(X=2)+P(Z=1|X=3，Y=3)P(Y=3|X=3)P(X=3)}$

= \begin{array}{l} P(X=3，Y=3，Z=1) \\ P (Z = 1 | X = 1 ， Y = 3) P (Y = 3 | X = 1) P (X = 1) + P (Z = 1 | X = 2 ， Y = 3) P (Y = 3 | X = 2) P (X = 2) + P (Z = 1 | X = 3 ， Y = 3) P (Y = 3 | X = 3) P (X = 3) \end{array}

$=\begin{array}{l} \text{P(X=3，Y=3，Z=1)}\\ \hline {P(Z=1|X=1，Y=3)P(Y=3|X=1)P(X=1)+P(Z=1|X=2，Y=3)P(Y=3|X=2)P(X=2)+P(Z=1|X=3，Y=3)P(Y=3|X=3)P(X=3)} \end{array}$

\begin{array}{l} if it is raining, then the grass is wet \\ it is raining \\ the grass is wet \end{array}

$\begin{array}{l} \text{if it is raining, then the grass is wet}\\ \text{it is raining}\\ \hline \text{the grass is wet} \end{array}$

= \frac{\frac{1}{3} * \frac{1}{3} * \frac{1}{2}}{0 * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} + 1 * \frac{1}{3} * \frac{1}{3} + \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \frac{1}{3}}

$= \frac{\frac{1}{3}* \frac{1}{3}*\frac{1}{2}}{0* \frac{1}{3}*\frac{1}{3}+1* \frac{1}{3}*\frac{1}{3}+\frac{1}{2}* \frac{1}{3}*\frac{1}{3}}$

= \frac{1}{3}

$= \frac{1}{3}$

此时，参赛者选到正确答案的概率为三分之一，而参赛者在第二轮改变了选择之后：

P (X = 2 | Y = 3 ， Z = 1) = 1 - P (X = 3 | Y = 3 ， Z = 1)

$P(X=2|Y=3，Z=1)= 1-P(X=3|Y=3，Z=1)$

= \frac{2}{3}

$= \frac{2}{3}$

【转载】蒙提霍尔问题简述

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