《算法零基础100讲》(第8讲) 素数筛选(C语言解题)

204.计算质数

  质数在之前的篇章中我们也进行过一个初步的了解，质数的定义是：只包含1和本身为因子的数就叫做质数，质数又称为素数。例如2，3，5，7，11等，他们的因子都只有两个，那就是1和他们本身。

  今天这道题我们是要计算出小于n的质数有多少个，大多数人第一想法就是遍历，当然这也是最直接，最方便的解法，思维方式也不算复杂，只需在区间[2，√n]中查询是否还有能够整除n的数，有则返回true，否则返回false。
代码如下：

bool isPrime(int n) {
    
                  
    int i, sqrtn = sqrt(n + 1e-6);
    if(n <= 1) {
    
    
        return false;                
    }
    for(i = 2; i <= sqrtn; ++i) {
    
    
        if(n % i == 0) {
    
             
            return false;
        }
    }
    return true;                   
}

int countPrimes(int n){
    
    
    int count = 0;
    for(int i = 2; i < n; i++){
    
    
		bool b = isPrime(i);
		if(b){
    
    
			count++;
		}
	}
    return count;
}

这种解法的时间复杂度是O(n√n)，但这道题的数据范围是[0，5000001]，如果用这种解法的话，计算时间还是有点大，会超出时间限制，所以接下来我们介绍另外一种解法——Eratosthenes法。

  我们定义一个数组dp[ ]，其中dp[ i ]表示数字 i 是否是质数，如果 i 不是，则dp[ i ] = true。初始条件是dp[ 0 ] = dp[ 1 ] = true。
分析：

1. 从未被标记的数中找到最小的数 i，i * 2，i * 3，i * 4 等2的倍数都标记为true，因为2为质数，所以2，4，6，8，10…都被标记为质数。
2. 在从下一个最小未被标记的数3计算，6，9，12，15…标记为质数。
3. 以此类推。

多举几个例子，我们可以发现每个i在计算之前，[1, i)的范围内都被上一个质数 i 给计算过。
如图：

所以我们只需从 [i ^ 2，n)的 区间范围内计算。

代码如下：

#define ll long long

bool dp[5000001];

int countPrimes(int n){
    
    
    if(n == 0 || n == 1){
    
    
        return 0;
    }
    int count = 0;
    dp[0] = dp[1] = false;
    for(int i = 2; i < n; i++){
    
    
        if(!dp[i]){
    
    
        	//若为被标记，则说明i为质数，count++
            count++;
            //对i的i * i倍进行标记
            for(ll j = (ll) i * i; j < n; j+=i){
    
    
                dp[j] = true;
            }
        }
    }
    return count;
}