题目大意：
给定一张带点权和边权的无向图 G G G,求出一张图 G ′ ∈ G G'\in G G′∈G,使得下面这个式子：
∑ w ( V i ) ∑ δ ( u i , v i ) ; V i , u i , v i ∈ G ′ . \frac{\sum w(V_i)}{\sum{\delta(u_i,v_i)}};V_i,u_i,v_i\in G'. ∑δ(ui,vi)∑w(Vi);Vi,ui,vi∈G′.
值最大（ G ′ G' G′必须联通）。
仔细思考发现我们选出的子图一定有如下性质：
- 一定为一棵树。
- 只有一条边。
性质①的证明：
假设我们已经选出了一棵树，目前的答案为 ρ \rho ρ,那我们加上一条边 e e e，这棵树一定会形成一个环，设此时的答案为 ρ ′ \rho' ρ′。则易得 ρ ′ = ∑ w ( V i ) ∑ δ ( u i , v i ) + δ ( e ) < ρ \rho'=\frac{\sum w(V_i)}{\sum{\delta(u_i,v_i)+\delta(e)}}<\rho ρ′=∑δ(ui,vi)+δ(e)∑w(Vi)<ρ
所以不加边一定比加边更优,最后的最优解的形态一定是树。
性质②的证明：
我们选出一条边 e 1 ( u , v ) e_1(u,v) e1(u,v)后答案显然是 ρ = w ( u ) + w ( v ) δ ( u , v ) \rho=\dfrac{w(u)+w(v)}{\delta(u,v)} ρ=δ(u,v)w(u)+w(v)，这时我们再添加一条边 e 2 ( v , k ) e_2(v,k) e2(v,k)，使图结构仍然为树,此时答案显然是 ρ ′ = w ( u ) + w ( v ) + w ( k ) δ ( u , v ) + δ ( v , k ) \rho'=\dfrac{w(u)+w(v)+w(k)}{\delta(u,v)+\delta(v,k)} ρ′=δ(u,v)+δ(v,k)w(u)+w(v)+w(k).
作差得：
ρ − ρ ′ = ( w ( u ) + w ( v ) ) ∗ δ ( v , k ) − w ( k ) ∗ δ ( u , v ) ( δ ( u , v ) + δ ( v , k ) ) ∗ δ ( u , v ) \rho-\rho'=\dfrac{(w(u)+w(v))*\delta(v,k)-w(k)*\delta(u,v)}{(\delta(u,v)+\delta(v,k))*\delta(u,v)} ρ−ρ′=(δ(u,v)+δ(v,k))∗δ(u,v)(w(u)+w(v))∗δ(v,k)−w(k)∗δ(u,v)
若要使答案更优，则上式应该小于零，即： w ( k ) δ ( v , k ) > ρ \dfrac{w(k)}{\delta(v,k)}>\rho δ(v,k)w(k)>ρ
放缩得 ρ ( e 2 ) > ρ ( e 1 ) \rho(e_2)>\rho(e_1) ρ(e2)>ρ(e1)
所以我们应该之选密度最大的一条边。
代码如下：
#include<cstdio>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int SIZE=600;
int n,m;
double a[SIZE],c,ans=0;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
ans=max(ans,(a[u]+a[v])/w);
}
cout<<fixed<<setprecision(15)<<ans<<endl;
return 0;
}