最长不下降子序列（复杂度较低的方法）

最长不下降子序列随笔

参考文章最长不下降子序列nlogn算法详解
最长不下降子序列是动态规划的基础题，通常我们会这样去解它

int a[MAXN], d[MAXN];
int dp() {
    
    
  d[1] = 1;
  int ans = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
    for (int j = 1; j < i; j++)
      if (a[j] <= a[i]) {
    
    
        d[i] = max(d[i], d[j] + 1);
        ans = max(ans, d[i]);
      }
  }
  return ans;
}

这样的的复杂度是O(n^2)
这里介绍一种O(nlogn)的解法：

//最长不下降子序列nlogn  Song 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[40005];
int d[40005];

int main()
{
    
    
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    if (n==0)  //0个元素特判一下 
    {
    
    
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    d[1]=a[1];  //初始化 
    int len=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
    
    
        if (a[i]>=d[len]) d[++len]=a[i];  //如果可以接在len后面就接上，如果是最长上升子序列，这里变成> 
        else  //否则就找一个最该替换的替换掉 
        {
    
    
            int j=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;  //找到第一个大于它的d的下标，如果是最长上升子序列，这里变成lower_bound 
            d[j]=a[i]; 
        }
    }	
    printf("%d\n",len);    
    return 0;
}

这里的b数组储存的并不是最大的子序列，而仅仅是一个载体，根据序列的当前下标数字大小分为两种情况：
1：大于等于b[len]，直接将元素接到b数组后面。
2：小于b[len],查找第一个大于它的数字并替换，这样做的巧妙之处在于在此之前的所有小于它的元素都是按顺序的，而在它之后大于它的元素都是之前序列的保留，所以替换并不会对原本的序列造成影响，也会同时创造一个新的序列为后面的替换打下基础，使其可能成为更长的不下降子序列。
这样光讲相信大家不会明白，建议各位亲自带入例子试试，应该会豁然开朗的吧。