洛谷 P1450 [HAOI2008]硬币购物

Description

共有 $4$ 种硬币。面值分别为 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 。

某人去商店买东西，去了 $n$ 次，对于每次购买，他带了 $d_i$ 枚 $i$ 种硬币，想购买 $s$ 的价值的东西。请问每次有多少种付款方法。

Input

输入的第一行是五个整数，分别代表 $c_1,c_2,c_3,c_4, n$ 。

接下来 $n$ 行，每行有五个整数，描述一次购买，分别代表 $d_1, d_2, d_3, d_4,s$ 。

Output

对于每次购买，输出一行一个整数代表答案。

Solution

1.利用容斥定理，先用完全背包计算无限枚硬币的方案数。

实现如下：

// 完全背包模板
    dp[0] = 1;
    for(int i=1; i<=4; i++)
        for(int j=c[i]; j<=100000; j++)
            dp[j] += dp[j-c[i]];

该方案得到的是，肯定包含有四种硬币都不合法的方案数。

2.再由容斥定理，处理不合法的方案。

令四种硬币不合法的方案分别为A、B、C、D，由容斥定理不难得出公式：

$P(A\bigcup B\bigcup C\bigcup D)\\=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)\\-P(A\bigcup B)-P(A\bigcup C)-P(A\bigcup D)\\-P(B\bigcup C)-P(B\bigcup D)-P(C\bigcup D)\\+P(A\bigcup B\bigcup C)+P(A\bigcup B\bigcup D)\\+P(A\bigcup C\bigcup D)+P(B\bigcup C\bigcup D)\\-P(A\bigcup B\bigcup C\bigcup D)$

现在的任务就是要在答案中减去不合法的方案，

即对于上述式子中的各个值，对答案贡献的为对应值的相反数。

3.模拟

可以通过二进制的模拟方式，1表示该币种不合法，0表示合法。

显然，需要让该币种不合法，就至少需要使用 $d_j+1$ 枚，贡献价值 $d_j+1)*c[j]$ ，多种币种不合法就将该值相加即可。

币种多少对答案的贡献：由2得，奇数为负，偶数为正。

初始答案为完全背包后的 $d p [s]$ 的值。

Code

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long ll;
#define MOD 1000000007
#define intmax 2147483647
#define memmax 0x7fffffff

using namespace std;

inline ll read()
{
    
    
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){
    
    if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){
    
    x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}


ll n, s;
ll c[5], d[5];

ll dp[100005];

void solve()
{
    
    
    cin >> d[1] >> d[2] >> d[3] >> d[4] >> s;

    ll ans = dp[s];// 无限硬币的答案

    // 完全背包的答案相当于把四个硬币的不合法方案全部计算进去了
    // 模拟四种硬币不合法方案（二进制形式）
    // 保证总有一项为1
    for(int i=1; i<(1<<4); i++)
    {
    
    
        // 判正负
        ll cnt = 1, sum = 0;
        for(int j=1; j<=4; j++)
        {
    
    
            // 检测不合法位
            if(i>>(j-1) & 1)
            {
    
    
                cnt = -cnt;//+-取反
                // 满足不合法至少需要的硬币枚数以及总价值
                sum += (d[j]+1)*c[j];
            }
        }

        // 大于要求的答案，对答案没影响
        if(sum > s)
            continue;
        // 更新答案
        ans += cnt*dp[s-sum];
    }

    cout << ans << endl;

    
}

int main(void)
{
    
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);


    cin >> c[1] >> c[2] >> c[3] >> c[4] >> n;

    // 完全背包模板
    dp[0] = 1;
    for(int i=1; i<=4; i++)
        for(int j=c[i]; j<=100000; j++)
            dp[j] += dp[j-c[i]];

    for(int i=1; i<=n; i++)
        solve();
    
    return 0;
}