约瑟夫问题
约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。
- 首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
- 然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
- C接着从1开始报数
- 接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
- 最终胜利者是C
约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。
下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。
- 刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
- 编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
- 编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
- ……
- 第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
- 下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
- 最后的胜利者是编号为7的人。
过程图如下，箭头所指代表的是每一轮的第一个报号的人，绿色代表这一轮被淘汰的人，红色代表最终胜利的人。
根据上面的推理，我们可以得到如下图所示的一张表（黄色代表每一轮被淘汰的人）
我们假设f(N,M)表示，N个人报数，每报到M的人被淘汰，最终胜利者的编号。
所以，f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M的人被淘汰，最终胜利者的编号 。
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置
- f(1,3)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
- f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
- f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
- f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
- ……
- f(11,3)=6f(11,3)=6
因此可以得出递推公式：
f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
那么我们该如何推导这个公式呢？
- 假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
- 其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。
- 假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那上一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
- 这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11
- 现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
- 每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f(N−1,M)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。
int LastRemaining_Solution2(unsigned int n, unsigned int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
int last = 0;
for (int i = 2; i <= n; i ++)
last = (last + m) % i;
return last+1;//因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1
}