To_Heart—总结——树状数组

树状数组主要用来解决区间求和问题。接下来，我们以区间求和为引子，详细讲述树状数组的两类操作。

问题引入

有一个一维数组，长度为n。

对这个数组做两种操作：

修改，对第i~j之间的某元素增加 v
求和，求 i 到 j 的和

首先，很容易想到前缀和，但是前缀和不支持修改操作，或者说，前缀和的修改操作的时间复杂度是O(n)。如果一共操作m次，则前缀和的最坏时间复杂度是O(nm)，最好时间复杂度是O(m)。

但是，即将介绍的树状数组，是一种修改和求和都只需要O(logn)的算法，所以树状数组的最好和最坏时间复杂度都是O(m*logn)。

树状数组

接下来我们正式学习树状数组。

首先，我们先放一张图

这张图中的A数组为原数组，C数组为树状数组。

那么我们把每一个C[i]用A数组表示出来:

C[1]=A[1]

C[2]=A[1]+A[2]

C[3]=A[3]

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]

C[5]=A[5]

C[6]=A[5]+A[6]

C[7]=A[7]

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]。

我们再将1~8这几个数进行2进制转换
1：0001
2：0010
3：0011
4：0100
5：0101
6：0110
7：0111
8：1000
i 转化成二进制数之后，只保留最低位的1及其后面的0，截断前面的内容，然后再转成十进制数，即为C[i]的子叶个数。如果我们设k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度，那么就可以写出以下公式

$C_i=A_{(i-2^k)+1}+A_{(i-2^k)+2}+...+A_{i}$

那么得到这个公式有什么用呢？

这样我们就可以在logn的时间复杂度求出1~i的前缀和。

举个例子。假设现在我们要找1~7元素的前缀和。

$sum_7=A_1+A_2+A_3+A_4+A_5+A_6+A_7$

$sum_7=(A_1+A_2+A_3+A_4)+(A_5+A_6)+A_7$

$sum_7=C_4+C_6+C_7$

而7的二进制是1110，一共有三个1，所以它的前缀和刚好可以用树状数组中的三个节点来表示。我们用k数组i在二进制中所有1的位置，即可得到以下公式:

$sum_i=C_i+C_{i-2^{k_1}}+C_{(i-2^{k_1})-{2^{k_2}}}+......$

所以现在的问题就转换成如何求k了。

对于k的求法有一个专门的名称，lowbit。它可以求出一个数二进制下的最后一个1.

lowbit写法

x&(-x)

首先，我们对x进行分类讨论，把它分为奇数和偶数的情况考虑。

在二进制下，数是以补码的形式储存的，而正数的补码就等于其原码，负数的补码等于原码取反加1。

如果原数是奇数，二进制下最后一位一定是1，取反后就变成0，加1以后又变成1，又由于其他位置都变成了相反数，所以两者相与的答案一定是1。

如果原数是偶数，二进制的最后一位一定是0，取反后是1，加1后进位变0，这个1一直进位直到前一位是0为止。当前一位是0的时候，则变为1。补码位置是0，说明原码位置是1，又因为0变成了1,1&1=1，所以两者相与的答案就是 $2^k$ 。

综上，如果这个数是奇数，答案为1,即 $2^0$ ，偶数则为 $2^k$ ,答案k都为此数的二进制中从最低位到高位连续零的长度。

代码如下

int Lowbit(ll x) {
    
     return x & (-x); }

如果还觉得不清晰，可以参考一下这篇博客

操作1：修改

因为前面的公式:

$C_i=A_{(i-2^k)+1}+A_{(i-2^k)+2}+...+A_{i}$

所以如果我们修改 $A_i$ ,那么会影响 $C_i$ , $C_{i+2^k}$ , $C_{(i+2^{k1})+2^{k2}}$ ,……

所以只要沿着这个思路写就可以了

void HHup(ll k, ll x) {
    
    
    for (int i = k; i <= n; i += Lowbit(i)) C[i] += x;
}

操作2：查询

直接查就可以了啊。。。。

不懂的自己往前在翻一翻。

ll HHsum(ll k) {
    
    
    ll ans = 0;
    for (int i = k; i >= 1; i -= Lowbit(i)) ans += C[i];
    return ans;
}