【计算机图形学】图形变换+复杂图形组合——MATLAB实现

这是我参与11月更文挑战的第4天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战

1 引言

图形变换和观察是计算机图形学的基础内容之一，也是图形显示过程中不可缺少的一个环节

许多复杂的图形，其实可以由简单图形通过平移、旋转、缩放、镜像、投影等操作，再加以组合得到

本文将讨论二维图形各种变换，以及将变换结果组合为复杂的图形

2 思路

所有的变换功能，如平移、旋转、缩放等，均可集成在一个函数中，调用时只需改变函数的参数即可，而不需重复实现

二维图形变换主要思想为——矩阵运算，且采用右乘法为主

将组成原图形的点坐标化为齐次形式
平移变换矩阵为 $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\T_x&T_y&1\end{bmatrix}$
缩放变换矩阵为 $\begin{bmatrix}S_x&0&0\\0&S_y&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
旋转变换矩阵为 $\begin{bmatrix}cos\theta&sin\theta&0\\-sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

Tips：

若原始图形变换基准点不在原点，需先将其平移至原点，进行相应变换后，再逆变换平移回到原始位置

这样完成所需功能，则需要多个矩阵变换矩阵相乘，即级联变换

3 过程

3.1 函数

函数调用格式为xuanzhuan(x,y,a,k,tx,ty,sx,sy)

其中x,y为图形坐标
a为旋转角度（角度制）
k为模式：1为直线，2为圆或椭圆
tx,ty为平移参数
sx,sy为缩放参数

首先初始化

[~,n]=size(x);
e=ones(1,n);
A=[x;y;e]'; %齐次化矩阵
B=A; %初始化
a1=pi/(180/a); %化为弧度制
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再分别根据直线，或者圆和椭圆的情况进行变换

%直线的情况
if k==1
    B=A*[1 0 0;0 1 0;-min(x) -min(y) 1]...
        *[cos(a1) sin(a1) 0;-sin(a1) cos(a1) 0;0 0 1]...
        *[1 0 0;0 1 0;min(x) min(y) 1];
    C=B*[1 0 0;0 1 0;-min(x) -min(y) 1]...
        *[sx 0 0;0 sy 0;tx ty 1]...
        *[1 0 0;0 1 0;min(x) min(y) 1];
end
%圆或椭圆的情况
if k==2
    xpingyi=(max(x)+min(x))/2;ypingyi=(max(y)+min(y))/2;
    B=A*[1 0 0;0 1 0;-xpingyi -ypingyi 1]...
        *[cos(a1) sin(a1) 0;-sin(a1) cos(a1) 0;0 0 1]...
        *[1 0 0;0 1 0;xpingyi ypingyi 1];
    C=B*[1 0 0;0 1 0;-xpingyi -ypingyi 1]...
        *[sx 0 0;0 sy 0;tx ty 1]...
        *[1 0 0;0 1 0;xpingyi ypingyi 1];
end
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最后将新、旧图形一并绘出，便于进行对比

%绘制新旧图形
plot(A(:,1),A(:,2),'r-',C(:,1),C(:,2),'r-');
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3.2 变换过程

首先在直线、圆、椭圆绘制的基础上，得到其基本图形的x,y坐标
对一条直线进行旋转操作，再对新旧两条直线进行平移
对绘制的椭圆进行旋转和对称操作，使之拥有优美的对称形式
对圆进行缩放操作，压缩后的圆变成了椭圆，与圆叠加形成一种“行星”效果

完整代码请见GraphTransform(gitee.com)

4 结果

图形组合效果如下：