Codeforces Round #716 (Div. 2) C. Product 1 Modulo N 详细证明

题意：
给定$n$，问$[1,n)$中至多可以取哪些数使得这些数的乘积模$n$等于$1$
数据范围：$1\le n\le 10^5$

题解：
考虑最后的乘积一定是$kn+1,k\ge 0$
则有$gcd(kn+1,n)=gcd(n,1)=1$
因此选择的任意一个数都必须与$n$互质。

如果所有选择的数的乘积模$n$的值$prod$为$1$，则直接输出
否则将$prod$这个数删去后，再输出剩余的数即可。

证明若$prod$不为$1$，则$prod$一定与$n$互质：
实际结果为：$mul=kn+prod,k\ge 0$
则有$gcd(mul,n)=gcd(kn+prod,n)=gcd(prod,n)$
可以知道的是，$mul$由所有的与$n$互质的数相乘而来，因此$gcd(mul,n)=1$，因此$gcd(prod,n)=1$，故$prod$一定是被选择的数。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int st[N], ans[N], g;
int n, v;
int gcd(int a, int b) {
    
    
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); 
} 
int main()
{
    
    
	scanf("%d", &n);
	v = 1;
	for(int i = 1; i < n; ++i)
		if(gcd(i, n) == 1) {
    
    
			v = 1ll * v * i % n;
			st[i] = 1;
		}
		
	if(v != 1) st[v] = 0;
	for(int i = 1; i < n; ++i) 
		if(st[i]) ans[++g] = i;
	
	printf("%d\n", g);
	for(int i = 1; i <= g; ++i)
		printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == g]);
	
	return 0;
}