本福特定律和齐夫定律是一回事吗

关于本福特定律的简单解释和推导，参见：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/440462854

思考本福特定律，与齐夫定律对照，它们之间似乎可以相互推导，是真的吗？

本福特定律说首数为$n$的概率：$P(n)={\log }_{10}\frac{n+1}{n}={\log }_{10}(n+1)-{\log }_{10}n$

写成连续的形式：$P(x)={\log }_{10}(x+1)-{\log }_{10}x$

从这个形式上看，它是一个定积分${\int }_x^{x+1}\frac{{\log }_{10}e}{n}dn$ 。设不定积分式为$F(x)$，则：

$F(x)=\int \frac{{\log }_{10}e}{x}dx$

积分$F(x)$实际上就是所有首数字概率的积累分布函数，其概率密度函数为一个反比例函数：

$f(x)=\frac{{\log }_{10}e}{x}$

从本福特定律的概念上讲，首数字为$n$的概率可以写成两种形式：

• 定积分的形式：$P_{int}(n)=F(x){|}_n^{n+1}$
• 概率密度的形式：$P_{prob}(n)=f(n)$

连续化是为了拟合微积分计算，回到离散的形式：

$P_{prob}(n)=f(n)=\frac{{\log }_{10}e}{n}$

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换一种写法：

$P_{prob}(n)\times n={\log }_{10}e$

这看起来符合齐夫定律。来看下是不是。

经过了连续～离散变换，连续情况下的反比例形式不能用于离散情况的计算，只能直观理解$P(n)\times n=常数C$。现在直接从本福特定律的结论入手，实际计算一下：

$P(n)\times n=n\times {\log }_{10}\frac{n+1}{n}={\log }_{10}(\frac{n+1}{n}{)}^n$

设：

$g(n)=(\frac{n+1}{n}{)}^n$

$g(n)$快速逼近$e$，但仅在$n$取1～9时，$g(x)$有意义，分别为：

$g(1)=2,g(2)=2.25,g(3)=2.37,g(4)=2.44,g(5)=2.48,g(6)=2.52,g(7)=2.54,g(8)=2.56,g(9)=2.58$

${\log }_{10}x$单调递增，计算${\log }_{10}g(1)$和${\log }_{10}g(9)$的值，分别为：

${\log }_{10}g(1)=0.301$
${\log }_{10}g(9)=0.411$

它们相差非常小，可近似为符合齐夫定律。

这是为什么？

通过上述推导，$P_{int}$和$P_{prob}$是可以相互转换的，只要可以将事情抽象成$P_{int}$的定积分形式，结合概率密度函数和积累分布函数的概念，一定可以通过求导换算成$P_{prob}$，后者正好是一个反比例函数。这意味着位标$x$与函数值$f(x)$的乘积是一个常数，这是满足齐夫定律的条件。

那么齐夫定律的典型case，城市人口问题是否可以写成类似$P(n)={\log }_{10}\frac{n+1}{n}$的形式呢？是可以的。

城市人口来自于外来者的定居(城市没有土著，土著是乡村的概念)，一个人选择哪个城市定居取决于多个维度，列如下：

$D_1=生活环境$
$D_2=工作机会$
$D_3=子女教育$
$D_4=生活设施$
$D_5=医疗资源$
…

设人们有$N$个城市$C_i$可选，它们综合排名如下：$C_1>C_2>C_3...C_N$，人们选择定居地时，会在这$N$个城市中考虑$D_i$：

• 若$i<j$，则优先考虑$C_i$

若问是什么初始因素导致了城市规模的初始差异，就要涉及优先依附原则了，这又要牵扯到无标度网络的生长动力学，本文不谈这些，所以直接假设了排名。

$D_i$几乎每人都会考虑，但$D_2$，$D_3$可能有人不关心。终于，可以将所有人按照下列方式分类：

• 只考虑$D_1$的人。
• 同时考虑$D_1，D_2$的人。
• 同时考虑$D_1，D_2，D_3$的人。
• 同时考虑$D_1，D_2，D_3，D_4$的人。
• 同时考虑$D_1，D_2，D_3，D_4，D_5$的人。
• …

无论如何，对于任何维度，排名靠前的城市一定被优先考虑。

进行下面的类比：

• 把上述考虑维度$D_1，D_2，D_3，...$看作自然数集首数概率问题中的个位，十位，百位…
• 把上述待考虑城市$C_1，C_2，C_3，...$看作自然数集首数概率问题中的$1，2，3，...$
• 把上述待定居人们的分类看作自然数集首数概率问题的个位数，十位数，百位数…

显然可以导出遵循齐夫定律的城市规模分布同样也遵循本福特定律：

• 第$n$大城市的人口占比：$P={\log }_N\frac{n+1}{n}$

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