1610. 可见点的最大数目 : 求极角几何题

题目描述

这是 LeetCode 上的 1610. 可见点的最大数目 ，难度为困难。

Tag : 「数学」、「几何」、「排序」、「双指针」、「滑动窗口」

给你一个点数组 points 和一个表示角度的整数 angle ，你的位置是 location，其中 $location = [pos_x, pos_y]$ 且 $points[i] = [x_i, y_i]$ 都表示 X-Y 平面上的整数坐标。

最开始，你面向东方进行观测。你不能进行移动改变位置，但可以通过自转调整观测角度。换句话说， $pos_x$ 和 $pos_y$ 不能改变。你的视野范围的角度用 angle 表示，这决定了你观测任意方向时可以多宽。设 d 为你逆时针自转旋转的度数，那么你的视野就是角度范围 $[d - angle/2, d + angle/2]$ 所指示的那片区域。

对于每个点，如果由该点、你的位置以及从你的位置直接向东的方向形成的角度位于你的视野中，那么你就可以看到它。

同一个坐标上可以有多个点。你所在的位置也可能存在一些点，但不管你的怎么旋转，总是可以看到这些点。同时，点不会阻碍你看到其他点。

返回你能看到的点的最大数目。

示例 1：

输入：points = [[2,1],[2,2],[3,3]], angle = 90, location = [1,1]

输出：3

解释：阴影区域代表你的视野。在你的视野中，所有的点都清晰可见，尽管 [2,2] 和 [3,3]在同一条直线上，你仍然可以看到 [3,3] 。
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示例 2：

输入：points = [[2,1],[2,2],[3,4],[1,1]], angle = 90, location = [1,1]

输出：4

解释：在你的视野中，所有的点都清晰可见，包括你所在位置的那个点。
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示例 3：

输入：points = [[1,0],[2,1]], angle = 13, location = [1,1]

输出：1

解释：如图所示，你只能看到两点之一。
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提示：

$1 <= points.length <= 10^5$
$points[i].length == 2$
$location.length == 2$
$0 <= angle < 360$
$0 <= posx, posy, xi, yi <= 100$

数学

这是一道思维难度不大，但细节繁多的题目。

题目要我们旋转出一个角度为 $angle$ 的、可无限延伸的覆盖面，使得该覆盖面所能覆盖 $points$ 中的点最多。

我们所在的位置为 $location = (x,y)$ ，我们可以将 $(x,y)$ 作为「极点」，求所有 $points[i]$ 的「极角」。

令 $points[i] =(a,b)$ ，与极点关系 $dx = a - x;dy = b - y$ 。

求极角的方式有两种：

使用 $atan(\frac{dy}{dx})$ ：值域范围为 [-90°,90°]，需要对 $dx$ 与 $dy$ 进行象限讨论，从而将值域范围转化为我们希望的 [0°,360°]，同时需要注意 $dx = 0$ 的边界情况；
使用 $atan2(dy, dx)$ ：值域范围为 [-180°,180°]，与我们期望的 [0°,360°] 相差一个固定的值，可进行统一转换，也可以直接使用。

得到夹角数组 $list$ 后，对其进行排序，问题初步转换为：在夹角数组中找到连续一段 $[i, j]$ ，使得 $list[i]$ 和 $list[j]$ 的角度差不超过 $angle$ 。

但直接在原数组 $list$ 操作，会漏掉夹角横跨一四象限的情况：

因此，另外一个细节是，在求连续段长度时，先对夹角数组进行拷贝拼接，并对拼接部分增加偏移量（确保数组仍具有单调性）。

具体的，设夹角数组长度为 $n$ ，此时令 $list[n + i] = list[i] + 2 * PI$ ，从而将问题彻底转换为求连续段问题。

求解最长合法连续段 $[i,j]$ 可用「双指针」实现「滑动窗口」来做。

一些细节：题目规定了与 $location$ 重合的点在任意角度都能看到，因此我们需要对这些点进行特殊处理，

代码：

class Solution {
    public int visiblePoints(List<List<Integer>> points, int angle, List<Integer> location) {
        int x = location.get(0), y = location.get(1);
        List<Double> list = new ArrayList<>();
        int cnt = 0;
        double pi = Math.PI, t = angle * pi / 180;
        for (List<Integer> p : points) {
            int a = p.get(0), b = p.get(1);
            if (a == x && b == y && ++cnt >= 0) continue;
            list.add(Math.atan2(b - y, a - x) + pi);
        }
        Collections.sort(list);
        int n = list.size(), max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) list.add(list.get(i) + 2 * pi);
        for (int i = 0, j = 0; j < 2 * n; j++) {
            while (i < j && list.get(j) - list.get(i) > t) i++;
            max = Math.max(max, j - i + 1);
        }
        return cnt + max;
    }
}
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时间复杂度：令 $n$ 为 points 数组的长度，预处理出 points 的所有角度复杂度为 $O(n)$ ；对所有角度进行排序的复杂度为 $O(n\log{n})$ ；使用双指针实现滑动窗口得出最大合法子数组的复杂度为 $O(n)$ ；整体复杂度为 $O(n\log{n})$
空间复杂度： $O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1610 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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1610. 可见点的最大数目 : 求极角几何题

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